×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Površina ravninskog lika     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Volumen tijela, 2. primjer

Volumen tijela, 1. primjer

Izračunajte volumen tijela koje je omeđeno plohama $z=x^2+y^2$ , $z=0$ , $y=2x$ , $y=6-x$ i $y=1$ .

Rješenje.

Volumen tijela $\Omega$ koje je omeđeno bazom $D$ u $xy$ -ravnini i plohom $z=f(x,y)$ , prema [M2, poglavlje 4.2.1], dan je s

$$\displaystyle V(\Omega) = \iint\limits_D f(x,y) dx dy=\iint\limits_D z dP$$

Slika: Tijelo omeđeno plohama $z=x^2+y^2$ , $z=0$ , $y=2x$ , $y=6-x$ i $y=1$ , te njegova projekcija na $xy$ ravninu.

Na slici 4.7 je prikazano tijelo čiji volumen želimo izračunati i njegova projekcija na $xy$ ravninu. Budući da je tijelo odozgo omeđeno plohom $$z=x^2+y^2$$ , vrijedi

$$V =\iint\limits_{V_{xy}}\left( x^{2}+y^{2}\right) dx dy=\int\li... ...{x^{3}}{3} +xy^{2}\right) \underset{\frac{1}{2}y}{\overset{6-y}{\bigg\vert}}dy$$

$$=\int\limits_{1}^{4}\left[ \frac{\left( 6-y\right) ^{3}}{3}+\left( 6-y\right) y^{2}-\frac{1}{3}\frac{y^{3}}{8}+\frac{1}{2}yy^{2}\right] dy$$

$$=\int\limits_{1}^{4}\left( 72-36y+6y^{2}-\frac{y^{3}}{3}+6y^{2}-y^{3}- \frac{y^{3}}{24}-\frac{y^{3}}{2}\right) dy$$

$$=\int\limits_{1}^{4}\left( -\frac{15}{8}y^{3}+12y^{2}-36y+72\right) dy$$

$$=\left( -\frac{15}{8}\frac{y^{4}}{4}+12\frac{y^{3}}{3}-36\frac{y^{2}}{2} +72y\right) \underset{1}{\overset{4}{\bigg\vert}}=\frac{2511}{32}$$

Površina ravninskog lika     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Volumen tijela, 2. primjer