☰ matematika2

Totalni diferencijal drugog reda FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA Parcijalne derivacije složene funkcije

Derivacija složene funkcije jedne varijable

Odredite derivaciju $\displaystyle \frac{dz}{dt}\left(t\right)$ ako je:

a): $\displaystyle z(x,y)=\frac{x}{y}$ , $\displaystyle x=e^t$ , $\displaystyle y=\ln t$ ,
b): $\displaystyle z(x,y)=e^{x-2y}$ , $\displaystyle x=\sin t$ , $\displaystyle y=t^3$ .

Rješenje.

Primijenjujemo [M2, teorem 3.5]:

a)

$\displaystyle \frac{dz}{dt}\left( t\right)$	$\displaystyle = \frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial... ...cdot \frac{dy}{dt}=\frac{1}{y}e^t+\left(-\frac{x}{y^2}\right) \cdot \frac{1}{t}$
	$\displaystyle = \frac{1}{y}e^t-\frac{x}{y^2t}=\frac{yte^t-x}{y^2t}=\frac{te^t\ln t-e^t}{t\ln ^2t}=\frac{e^t(t\ln t-1)}{t\ln ^2t}.$

b)

$\displaystyle \frac{dz}{dt}\left( t\right)$	$\displaystyle = \frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt}=e^{x-2y}\cos t+e^{x-2y}\cdot (-2)\cdot 3t^2$
	$\displaystyle = e^{\sin t -2t^3}(\cos t-6t^2)$