×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Parcijalna derivacija drugog reda     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Parcijalna diferencijalna jednadžba


Parcijalna derivacija trećeg reda

Za funkciju $ \displaystyle u(x,y,z)=e^{xyz}$ odredite $ \displaystyle \frac{\partial ^3 u}{\partial x\partial y\partial z}\left( x,y,z\right)$ .

Rješenje.

Prema Teoremu [*][M2, teorem 3.3] vrijednost tražene derivacije ne ovisi o redoslijedu deriviranja po pojedinim varijablama pa redoslijed deriviranja biramo proizvoljno. Ovdje ćemo funkciju $ \displaystyle u$ derivirati najprije po varijabli $ \displaystyle z$ . Vrijedi

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}\left( x,y,z\right) =xye^{xyz}.$    

Dobivenu derivaciju zatim deriviramo po varijabli $ \displaystyle y$ . Slijedi

$\displaystyle \frac{\partial ^2u}{\partial y\partial z}\left( x,y,z\right) =\frac{\partial }{\partial y}\left(xye^{xyz}\right)=(x^2yz+x)e^{xyz}.$    

Derivirajmo još po varijabli $ \displaystyle x$ . Vrijedi

$\displaystyle \frac{\partial ^3u}{\partial x\partial y\partial z}\left( x,y,z\r...
...\left[ \left(x^2yz+x\right)e^{xyz}\right]=\left(x^2y^2z^2+3xyz+1\right)e^{xyz}.$