×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Ortogonalne i izogonalne trajektorije     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Egzaktne jednadžbe i integrirajući


Singularna rješenja i ovojnice

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda oblika

$\displaystyle F(x,y,y')=0
$

skup je funkcija $ \Phi(x,y,C)=0$ ovisnih o parametru $ C$ . No, u nekim slučajevima diferencijalna jednadžba ima i rješenje $ \Psi(x,y)=0$ koje se ne može dobiti iz općeg rješenja ni za jednu vrijednost parametra $ C$ . Takvo rješenje zove se singularno rješenje i ima sljedeća svojstva koja navodimo bez dokaza:
S1.
kroz svaku točku $ \Psi(x,y)=0$ prolaze dva rješenja polazne diferencijalne jednadžbe,
S2.
krivulja $ \Psi(x,y)=0$ je ovojnica obitelji krivulja $ \Phi(x,y,C)=0$ , odnosno krivulja $ \Psi(x,y)=0$ u svakoj svojoj točki dira jednu od krivulja iz obitelji $ \Phi(x,y,C)=0$ ,
S3.
singularno rješenje $ \Psi(x,y)=0$ se dobije eliminacijom parametra $ C$ iz sustava jednadžbi

$\displaystyle \Phi(x,y,C)$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial C} \Phi(x,y,C)$ $\displaystyle =0.$    

Primjer 5.14   Nađimo singularno rješenje diferencijalne jednadžbe

$\displaystyle y^2(1+y'^2)=\alpha^2, \qquad \alpha\in\mathbb{R}.
$

Vrijedi

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\pm \frac{\sqrt{\alpha^2-y^2}}{y}.
$

Separacija varijabli daje

$\displaystyle \frac{y  dy}{\pm \sqrt{\alpha^2-y^2}}=dx.
$

pa je rješenje jednadžbe obitelj kružnica radijusa $ \alpha$ sa središtem na $ x$ -osi:

$\displaystyle (x-C)^2+y^2=\alpha^2.
$

Ovojnice ove obitelji su pravci $ y=\alpha$ i $ y=-\alpha$ (vidi sliku 5.14), a prema svojstvu S2 to su ujedno i singularna rješenje polazne jednadžbe što se lako provjeri uvrštavanjem.

Singularno rješenje smo mogli dobiti i pomoću svojstva S3: jednakost

$\displaystyle \Phi'_C(x,y,C)=[(x-C)^2+y^2-\alpha^2]'_C=-2 (x-C)=0
$

povlači $ x=C$ pa uvrštavanje u jednadžbu $ (x-C)^2+y^2=\alpha^2$ daje singularno rješenje $ y^2=\alpha^2$ .

Slika 5.14: Ovojnice
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/ovoj.eps,width=9cm}
\end{figure}

Zadatak 5.8   Nađite singularna rješenja sljedećih jednadžbi:
a)
$ 2y(y'+2)-x(y')^2=0$ ,
b)
$ y^2(y')^2+y^2-1=0$ .

Primjer 5.15  

Clairautova diferencijalna jednadžba glasi

$\displaystyle y=xy'+f(y').
$

Deriviranje jednadžbe daje

$\displaystyle y'=y'+xy''+f'(y')y'',
$

odnosno

$\displaystyle y''[x+f'(y')]=0.
$

Izjednačavanje prvog faktora s nulom daje $ y''=0$ , odnosno $ y'=C$ . Dakle, opće rješenje jednadžbe glasi

$\displaystyle y=Cx+f(C),
$

što je obitelj pravaca ovisna o parametru $ C$ . Prema svojstvu S3, singularno rješenje dobijemo eliminacijom parametra $ C$ iz sustava

$\displaystyle y=Cx+f(C),\qquad 0=x+f'(C).
$

Na primjer, uz supstituciju $ t=x+1$ opće rješenje jednadžbe

$\displaystyle y=xy'+y'+(y')^2
$

je

$\displaystyle y=C(x+1)+C^2,
$

dok je singularno rješenje jednako (vidi sliku 5.15)

$\displaystyle y=-\frac{1}{4}  (x+1)^2.
$

Slika: Clairaut-ova jednadžba
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/clair.eps,width=8cm}
\end{figure}

Zadatak 5.9   Nađite opće i singularno rješenje sljedećih jednadžbi:
a)
$ x=\displaystyle \frac{y}{y'}-\displaystyle \frac{1}{(y')^2}$ ,
b)
$ y=xy'+\displaystyle \frac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}}$ .


Ortogonalne i izogonalne trajektorije     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Egzaktne jednadžbe i integrirajući