×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Uvjetni ekstrem     Varijacijski račun     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE


Eulerova metoda konačnih razlika

U ovom poglavlju opisat ćemo Eulerovu metodu konačnih razlika za numeričko rješavanje problema. Metoda se temelji na ideji da kod traženja ekstrema funkcionala

$\displaystyle I(y)=\int\limits _a^b F(x,y,y')  dx, \qquad y(a)=A, \quad y(b)=B,
$

ne promatramo sve dozvoljene derivabilne funkcije koje zadovoljavaju rubne uvjete, već samo poligonalne linije koje imaju vrhove u točkama

$\displaystyle (x_i,y_i), \qquad i=0,1,\ldots,n,
$

koje su definirane na sljedeći način: uz $ \Delta x=(b-a)/n$ je

$\displaystyle x_i=a+i  \Delta x, \qquad y_i=y(x_i), \qquad i=0,\ldots n.
$

Na ovaj način zadani funkcional $ I(y)$ postaje funkcija varijabli $ y_1,\ldots, y_{n-1}$ koju označavamo s $ \Phi(y_1,\ldots, y_{n-1})$ , a zadani problem svodi se na traženje ekstrema funkcije od $ n-1$ varijabli, odnosno na rješavanje sustava jednadžbi

$\displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial y_i},\qquad i=1,\ldots,n-1.
$

Primjer 4.28   Nađimo ekstrem funkcionala

$\displaystyle I(y)=\int\limits _0^1 (y^{\prime 2} + 2  y)   dx,
\qquad
y(0)=0,\quad y(1)=0,
$

metodom konačnih razlika. Odaberimo $ n=5$ . Tada je $ \Delta x=(1-0)/5=0.2$ i

  $\displaystyle y_0=y(0)=0, \qquad$ $\displaystyle y_1=y(0.2), \qquad$ $\displaystyle y_2=y(0.4),$    
  $\displaystyle y_3=y(0.6), \qquad$ $\displaystyle y_4=y(0.8),\qquad$ $\displaystyle y_5=y(1)=0.$    

Integral aproksimiramo pomoću lijeve integralne sume (vidi napomenu 2.1)

$\displaystyle I(y)\approx [F(x_0,y_0,y'_0)+\cdots + F(x_{n-1},y_{n-1},y'_{n-1})]  dx
$

pri čemu se derivacije aproksimiraju konačnim razlikama

$\displaystyle y'_i=y'(x_i)=\frac{y_{i+1}-y_i}{\Delta x},
$

odnosno

  $\displaystyle y'_0=\frac{y_1-0}{0.2}, \qquad$ $\displaystyle y'_1=\frac{y_2-y_1}{0.2}, \qquad$ $\displaystyle y'_2=\frac{y_3-y_2}{0.2},$    
  $\displaystyle y'_3=\frac{y_4-y_3}{0.2}, \qquad$ $\displaystyle y'_4=\frac{0-y_4}{0.2}.$    

Dakle,

$\displaystyle I(y)$ $\displaystyle \approx \Phi(y_1,\ldots,y_{n-1}) = \bigg[ \left(\frac{y_1}{0.2}\right)^2 + 2\cdot 0 + \left(\frac{y_2-y_1}{0.2}\right)^2 + 2  y_1 +$    
  $\displaystyle \quad + \left(\frac{y_3-y_2}{0.2}\right)^2 + 2  y_2 + \left(\fra...
...\right)^2 + 2  y_3 + \left(\frac{-y_4}{0.2}\right)^2 + 2 y_4 \bigg]\cdot 0.2.$    

Nužni uvjeti ekstrema funkcije $ \Phi(y_1,\ldots, y_{n-1})$ glase

$\displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial y_1}$ $\displaystyle =\left(\frac{2  y_1}{0.04} + \frac{2  (y_2-y_1)(-1)}{0.04} + 2\right)\cdot 0.2=0,$    
$\displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial y_2}$ $\displaystyle =\left(\frac{2  (y_2-y_1)}{0.04} + \frac{2  (y_3-y_2)(-1)}{0.04} + 2\right)\cdot 0.2=0,$    
$\displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial y_3}$ $\displaystyle =\left(\frac{2  (y_3-y_2)}{0.04} + \frac{2  (y_4-y_3)(-1)}{0.04} + 2\right)\cdot 0.2=0,$    
$\displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial y_4}$ $\displaystyle =\left(\frac{2  (y_4-y_3)}{0.04} + \frac{2  y_4}{0.04} + 2\right)\cdot 0.2=0.$    

Nakon sređivanja vidimo da se radi o sustavu linearnih jednadžbi $ A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ (vidi [*]M1, glava 2), gdje je

$\displaystyle A=\begin{bmatrix}2 & -1 & &  -1 & 2& -1 &  & -1 & 2 & -1  &...
...uad \mathbf{b}=\begin{bmatrix}- 0.04  -0.04  -0.04  -0.04
\end{bmatrix}.
$

Rješenje sustava je

$\displaystyle y_1=-0.08, \qquad y_2=-0.12,\qquad y_3=-0.12, \qquad y_4=-0.08.
$

Primijetimo da se izračunane vrijednosti poklapaju s vrijednostima rješenja $ y=(x^2-x)/2$ . Izračunajte točno rješenje za vježbu!

Rješenje se može jednostavno programirati u programskom jeziku Matlab. Program koji postavi matricu $ A$ i vektor $ \mathbf{b}$ te potom riješi sustav i nacrta numeričko i egzaktno rješenje glasi:

Octave On-line

     


[Octave On-line Home]    [Octave User's Guide]

Napomena 4.4   Općenito se korištenjem metode konačnih razlika dobije sustav nelinearnih jednadžbi. Intuitivno je jasno da aproksimacija rješenja postaje sve bolja kada se povećava broj intervala $ n$ . Ova metoda je začetak poznate metode konačnih elemenata.


Uvjetni ekstrem     Varijacijski račun     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE