☰ matematika2

Metoda varijacije konstanti DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Sustav lovac-plijen

Sustavi diferencijalnih jednadžbi

a)

Riješite sustav difrencijalnih jednadžbi

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$	$\displaystyle = y+1$
$\displaystyle \frac{dy}{dt}$	$\displaystyle = x+1.$

b)

Odredite ono rješenje sustava

$\displaystyle \frac{dx}{dt}+3x+y$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \frac{dy}{dt}-x+y$	$\displaystyle =0$

koje zadovoljava početne uvjete $\displaystyle x(0)=1$ i $\displaystyle y(0)=1$ .

c)

Odredite opće rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$	$\displaystyle = 3-2y$
$\displaystyle \frac{dy}{dt}$	$\displaystyle = 2x-2t.$

Rješenje.

a)

Funkcije $\displaystyle x(t)$ i $\displaystyle y(t)$ odredit ćemo na način da najprije iz prve jednadžbe sustava izrazimo jednu funkciju, na primjer,

$\displaystyle y=\frac{dx}{dt}-1.$

(5.8)

Deriviranje ove jednadžbe po varijabli $\displaystyle t$ daje $\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$ . Uvrštavanje $\frac{dy}{dt}$ (i

, ako treba) u drugu jednadžbu daje diferencijalnu jednadžbu drugog reda za funkciju

$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}-x=1.$

(5.9)

U ovm slučaju dobili smo linearna nehomogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima, koju riješavamo kao i u prethodnim primjerima: rješenja pripadne karakteristične jednadžbe su $\displaystyle \lambda _{1,2}=\pm 1$ pa je rješenje homogene diferencijalne jednadžbe $\displaystyle x_H(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}$ . Budući je desna strana nehomogene jednadžbe (5.9) polinom nultog stupnja, iz (5.7) zaključujemo da je partikularno rješenje također polinom nultog stupnja, odnosno, $\displaystyle x_P(t)=A$ . Uvrštavanjem $\displaystyle x_P$ u (5.9) slijedi $\displaystyle A=-1$ pa opće rješenje jednadžbe (5.9) glasi

$\displaystyle \displaystyle x(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}-1.$

Konačno, uvrštavanje

u jednadžbu (5.8) daje

$\displaystyle \displaystyle y(t)=C_1e^t-C_2e^{-t}-1.$

b)

Primjenit ćemo isti postupak kao u prethodnom zadatku. Iz prve jednadžbe sustava slijedi

$\displaystyle y=-\frac{dx}{dt}-3x$

(5.10)

$\displaystyle \displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac{d^2x}{dt^2}-3\frac{dx}{dt}.$

Uvrštavanjem

i $\displaystyle \frac{dy}{dt}$ u drugu jednadžbu dobivamo jednadžbu

$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+4\frac{dx}{dt}+4x=0$

(5.11)

čije rješenje glasi

$\displaystyle \displaystyle x(t)=C_1e^{-2t}+C_2te^{-2t}.$

Uvrštavanje (5.10) i dobivenog rješenja $\displaystyle x(t)$ u drugu jednadžbu zadanog sustava daje

$\displaystyle \displaystyle y(t)=-C_1e^{-2t}-C_2e^{-2t}-C_2te^{-2t}.$

Iskoristimo sada zadane početne uvjete. Iz uvjeta $\displaystyle x(0)=1$ slijedi , a iz uvjeta $\displaystyle y(0)=1$ slijedi $\displaystyle C_2=-2$ . Dakle, rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava zadane dane početne uvjete je

$\displaystyle \displaystyle x(t)=(1-2t)e^{-2t},\quad \displaystyle y(t)=(1+2t)e^{-2t}.$

c)

Postupkom kao u prethodna dva primjera iz prve jednadžbe sustava slijedi

$\displaystyle \displaystyle y(t)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{3}{2},\quad \displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac{1}{2} \cdot \frac{d^2x}{dt^2}.$

Uvrštavanjem u drugu jednadžbu sustava dobivamo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima

$\displaystyle \displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+4x=4t.$

Rješenje pripadne homogene diferencijalne jednadžbe je $\displaystyle x_H(t)=C_1\cos 2t+C_2\sin 2t$ . Metodom neodređenih koeficijenata ili metodom varijacije konstanti jednostavno se pokazuje da je opće rješenje za funkciju $\displaystyle x(t)$ dano s

$\displaystyle \displaystyle x(t)=C_1\cos (2t)+C_2\sin (2t)+t.$

Uvrštavanjem dobivenog rješenja natrag u prvu jednadžbu sustava slijedi

$\displaystyle \displaystyle y(t)=C_1\sin (2t)-C_2\cos (2t)+1.$

Metoda varijacije konstanti DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Sustav lovac-plijen