×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Linearne diferencijalne jednadžbe prvog     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Eulerova metoda


Bernoullijeva diferencijalna jednadžba

Odredite opće rješenje diferencijalnih jednadžbi:

a)
$ \displaystyle y^{\prime }-xy=-y^{3}e^{-x^{2}}$ ,

b)
$ \displaystyle\left( x^{2}y^{3}+xy\right) y^{\prime }=1$ .

Rješenje.

a)
Uvođenjem supstitucije

$\displaystyle z$ $\displaystyle =\frac{1}{y^{2}}$    
$\displaystyle z^{\prime }$ $\displaystyle =-2y^{-3}y^{\prime }$    
$\displaystyle \frac{z^{\prime }}{-2}$ $\displaystyle =\frac{y^{\prime }}{y^{3}}$    

i dijeljenjem zadane diferencijalne jednadžbe s $ \displaystyle y^{3}$ dobivamo

$\displaystyle \frac{y^{\prime }}{y^{3}}-\frac{x}{y^{2}}$ $\displaystyle =-e^{-x^{2}}$    
$\displaystyle \frac{z^{\prime }}{-2}-xz$ $\displaystyle =-e^{-x^{2}}$    
$\displaystyle z^{\prime }+2xz$ $\displaystyle =2e^{-x^{2}},$    

što je linearna diferencijalna jednadžba. U formulu za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe [*][M2, poglavlje 5.8] uvrstimo

$\displaystyle p\left( x\right) =2x, q\left( x\right) =2e^{-x^{2}}$    

i dobijemo

$\displaystyle z$ $\displaystyle =e^{-\int 2x dx}\left[ \int 2e^{-x^{2}}e^{\int 2x dx} dx+C\right]$    
$\displaystyle z$ $\displaystyle =e^{-x^{2}}\left[ \int 2e^{-x^{2}}e^{x^{2}} dx+C\right]$    
$\displaystyle z$ $\displaystyle =e^{-x^{2}}\left( 2x+C\right).$    

Vraćanjem susptitucije $ \displaystyle z=\frac{1}{y^{2}}$ dobivamo

$\displaystyle \frac{1}{y^{2}}=e^{-x^{2}}\left( 2x+C\right) .$    

b)
Neka je $ \displaystyle x=x\left( y\right) $ . Tada je

$\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{ dx}=\frac{1}{\frac{ dx}{dy}}=\frac{1}{x^{\prime }}$    

pa zadanu diferencijlanu jednadžbu možemo pisati kao:

$\displaystyle \left( x^{2}y^{3}+xy\right) \frac{1}{x^{\prime }}$ $\displaystyle =1$    
$\displaystyle x^{\prime }$ $\displaystyle =\left( x^{2}y^{3}+xy\right)$    
$\displaystyle x^{\prime }-xy$ $\displaystyle =x^{2}y^{3}.$    

Dijeljenjem zadane diferencijalne jednadžbe s $ \displaystyle x^{2}$ dobivamo

$\displaystyle \frac{x^{\prime }}{x^{2}}-\frac{y}{x}=y^{3}$ (5.6)

pa uvodimo supstituciju

$\displaystyle z$ $\displaystyle =\frac{1}{x}$    
$\displaystyle z^{\prime }$ $\displaystyle =-\frac{x^{\prime }}{x^{2}}$    
$\displaystyle -z^{\prime }$ $\displaystyle =\frac{x^{\prime }}{x^{2}}.$    

Sada diferencijalna jednadžba (5.6) glasi

$\displaystyle z^{\prime }+yz=-y^{3}.$    

To je linearna diferencijalna jednadžba u kojoj je

$\displaystyle p\left( y\right) =y, q\left( y\right) =-y^{3}$    

pa uvrštavanjem u formulu za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe [*][M2, poglavlje 5.8] dobivamo

$\displaystyle z=e^{-\int ydy}\left[ -\int y^{3}e^{\int ydy}dy+C\right].$    

Rješavanjem integrala i vraćanjem supstitucije dobivamo konačno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe:

$\displaystyle \frac{1}{x}=2-y^{2}+Ce^{-\frac{y^{2}}{2}}.$    


Linearne diferencijalne jednadžbe prvog     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Eulerova metoda