×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Rekurzivne formule     NEODREĐENI INTEGRAL     Integriranje trigonometrijskih funkcija


Integriranje racionalnih funkcija

Izračunajte integrale:

a)
$ \displaystyle\int \frac{ dx}{x^{2}+5x}$ ,

b)
$ \displaystyle\int \frac{ dx}{2x^{2}-5x+7}$ ,

c)
$ \displaystyle\int \frac{x-1}{x^{2}-x+1} dx$ ,

d)
$ \displaystyle\int \frac{3x-2}{2x^{2}-3x+4} dx$ ,

e)
$ \displaystyle\int \frac{x^{3}+x+2}{x^{2}+7x+12} dx$ ,

(f)
$ \displaystyle\int \frac{1}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx$ .

Rješenje.

a)
Polinom u nazivniku može se rastaviti na faktore $ x^{2}+5x=x\left( x+5\right) $ , pa tablične integrale dobivamo rastavom na parcijalne razlomke [*][M2, poglavlje 1.4.3]. Vrijedi

$\displaystyle \int \frac{ dx}{x^{2}+5x}$ $\displaystyle =\int \frac{ dx}{x\left( x+5\right) }$    
  $\displaystyle =\left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{x\left( x+5\right) }=\frac{A}{...
...+5\right)  1=Ax+5A+Bx  A=\frac{1}{5}  B=-\frac{1}{5} \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{5}\int \frac{ dx}{x}-\frac{1}{5}\int \frac{ dx}{x+5}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{5}\ln \left\vert x\right\vert -\frac{1}{5}\ln \left\vert x+5\right\vert +C=\frac{1}{5}\ln \left\vert \frac{x}{x+5}\right\vert +C.$    

b)
Polinom $ 2x^{2}-5x+7$ nema realnih nul-točaka, pa nazivnik ne možemo rastaviti na faktore. U tom slučaju integral računamo nadopunjavanjem nazivnika do punog kvadrata na slijedeći način:

$\displaystyle \int \frac{ dx}{2x^{2}-5x+7}$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{ dx}{x^{2}-\frac{5}{2}x+ \frac{7}{2}}=\fr...
...2}\int \frac{ dx}{\left( x-\frac{5}{4}\right) ^{2}- \frac{25}{16}+\frac{7}{2}}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{5}\int \frac{d\left( x-\frac{5}{4}\right) }{\left( x-\frac{5}{4} \right) ^{2}+\frac{31}{16}}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{31}{16}}}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{x- \frac{5}{4}}{\sqrt{\frac{31}{16}}}+C$    
  $\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{31}}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{4x-5}{\sqrt{31}}+C.$    

c)
Nazivnik se ni u ovom primjeru ne može rastaviti na faktore pa integral računamo zaspisivanjem brojnika u dva dijela od kojih je jedan derivacija nazivnika, a drugi konstanta. Time dobivamo dva integrala od kojih se prvi može izračunati metodom supstitucije (zadatak 1.2) ili uvođenjem novog argumenta (zadatak 1.3), dok drugi računamo kao u ovom zadatku pod $ b)$ :

$\displaystyle \int \frac{x-1}{x^{2}-x+1} dx$ $\displaystyle =\int \frac{\frac{1}{2}\left( 2x-1\right) + \frac{1}{2}-1}{x^{2}-x+1} dx=\int \frac{\frac{1}{2}\left( 2x-1\right) -\frac{1 }{2}}{x^{2}-x+1} dx$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{\left( 2x-1\right) -1}{x^{2}-x+1} dx$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{2x-1}{x^{2}-x+1} dx-\frac{1}{2}\int \frac{ dx}{ x^{2}-x+1}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{d\left( x^{2}-x+1\right) }{x^{2}-x+1}-\frac{1}{2} \int \frac{ dx}{\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}-\frac{1}{4}+1}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2}\ln \left\vert x^{2}-x+1\right\vert -\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{ 3}}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C.$    

d)
Vrijedi

$\displaystyle \int \frac{3x-2}{2x^{2}-3x+4} dx$ $\displaystyle =\int \frac{3\left( x-\frac{2}{3}\right) }{ 2\left( x^{2}-\frac{3...
...+2\right) } dx=\frac{3}{2}\int \frac{x-\frac{2}{3}}{ x^{2}-\frac{3}{2}x+2} dx$    
  $\displaystyle =\frac{3}{2}\int \frac{\frac{1}{2}\left( 2x-\frac{3}{2}\right) +\...
...rac{1}{2} \left( 2x-\frac{3}{2}\right) +\frac{1}{12}}{x^{2}-\frac{3}{2}x+2} dx$    
  $\displaystyle =\frac{3}{2}\frac{1}{2}\int \frac{2x-\frac{3}{2}}{x^{2}-\frac{3}{2}x+2} dx+ \frac{3}{2}\frac{1}{12}\int \frac{ dx}{x^{2}-\frac{3}{2}x+2}$    
  $\displaystyle =\frac{3}{4}\int \frac{d\left( x^{2}-\frac{3}{2}x+2\right) }{x^{2...
...}+\frac{1}{8}\int \frac{ dx}{\left( x-\frac{3}{4}\right) ^{2}-\frac{9}{ 16}+2}$    
  $\displaystyle =\frac{3}{4}\ln \left( x^{2}-\frac{3}{2}x+2\right) +\frac{1}{8}\frac{4}{ \sqrt{23}}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{4x-3}{\sqrt{23}}+C.$    

e)
Kako je u ovom integralu stupanj brojnika podintegralne funkcije veći od stupnja nazivnika, prvo provodimo dijeljenje polinoma, a zatim integral rastavljamo na dva, od kojih je prvi tablični integral potencije, a drugi se svodi na neki od prethodnih slučajeva.

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int \frac{x^{3}+x+2}{x^{2}+7x+12} dx=$    
  $\displaystyle =\left\{ \begin{array}{c} \left( x^{3}+x+2\right) :\left( x^{2}+7x+12\right) =x-7  \vdots  ost.38x+86 \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =\int \left( x-7\right)  dx+\int \frac{38x+86}{x^{2}+7x+12} dx=\frac{x^{2}}{2 }-7x+I_{1}$    

Integral označen sa $ I_{1}$ računamo posebno. Kako su $ x_{1}=-3$ i $ x_{1}=-4$ nultočke polinoma $ x^{2}+7x+12$ , nazivnik se može rastaviti na faktore, pa tablične integrale dobivamo rastavom na parcijalne razlomke.

$\displaystyle \int \frac{38x+86}{x^{2}+7x+12} dx$ $\displaystyle =\int \frac{38x+86}{\left( x+3\right) \left( x+4\right) } dx$    
  $\displaystyle =\left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{\left( x+3\right) \left( x+4\right) }=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+4}  A=-28  B=66 \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =-28\int \frac{d\left( x+3\right) }{x+3}+66\int \frac{d\left( x+4\right) }{ x+4}$    
  $\displaystyle =-28\ln \left\vert x+3\right\vert +66\ln \left\vert x+4\right\vert +C.$    

Konačno rješenje je

$\displaystyle I=\int \frac{x^{3}+x+2}{x^{2}+7x+12} dx=\frac{x^{2}}{2}-7x-28\ln \left\vert
x+3\right\vert +66\ln \left\vert x+4\right\vert +C.
$

(f)
Slijedeći integral računamo dodavanjem i oduzimajnem $ x^{2}$ u brojniku, pa vrijedi

$\displaystyle \int \frac{1}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx$ $\displaystyle =\int \frac{1+x^{2}-x^{2}}{ \left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx$    
  $\displaystyle =\int \frac{1+x^{2}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx-\int \frac{x^{2}}{ \left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx$    
  $\displaystyle =\int \frac{1}{\left( 1+x^{2}\right) } dx-\int \frac{x^{2}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x-I_{1}.$    

Integral označen sa $ I_{1}$ računamo posebno koristeći parcijalnu integraciju,

$\displaystyle \int \frac{x^{2}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx$ $\displaystyle =\int \frac{x\cdot x}{ \left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx$    
  $\displaystyle =\left\{ \begin{array}{cc} u=x &  dv=\frac{x}{\left( 1+x^{2}\rig...
...t( 1+x^{2}\right) ^{2}}=-\frac{1}{2\left( 1+x^{2}\right) } \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =-\frac{x}{2\left( 1+x^{2}\right) }+\frac{1}{2}\int  \frac{ dx}{1+x^{2}}$    
  $\displaystyle =-\frac{x}{2\left( 1+x^{2}\right) }+\frac{1}{2}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x+C.$    

pa je konačno rješenje

$\displaystyle \int \frac{1}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx=\frac{1}{2}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x+\frac{x}{2\left( 1+x^{2}\right) }+C.
$


Rekurzivne formule     NEODREĐENI INTEGRAL     Integriranje trigonometrijskih funkcija