×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Ekstremi funkcionala     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Rješenja zadataka za vježbu

Zadaci za vježbu

1.

Nacrtajte područje integracije i promijenite redoslijed integriranja u integralu $$I=\int\limits_0^1 dx\int\limits_0^{2x}f(x,y) dy$$ .

2.

Nacrtajte područje integracije i izračunajte vrijednost integrala
$$I=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} dx\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos y dy$$ .

3.

Izračunajte $$\iint\limits_{S} y^2\sin x dx dy$$ ako je

$$S=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : 0<x<\pi, 0<y<1+\cos x\right\}.$$

4.

Izrazite integral $$I=\iint\limits_{S} \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x} dx dy$$ u polarnim koordinatama. Izračunajte integral uz grafički prikaz područja integracije ako je $S$ dio ravnine što ga omeđuju kružnice $x^2+y^2=1$ , $x^2+y^2=9$ i pravci $y=\frac{\sqrt 3}{3}x$ i $y=\sqrt 3x$ .

5.

Izračunajte $$\iint\limits_{S} \sqrt {1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} dx dy$$ ako je $S=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1\right\}$ .

6.

Odredite volumen tetraedra omeđenog ravninama $x+2y+z=2$ , $x=2y$ , $x=0$ i $z=0$ .

7.

Izračunajte volumen tijela određenog nejednadžbama $z\leq x^2+y^2$ , $y\geq x^2$ , $y\leq 1$ i $z\geq 0$ .

8.

Odredite površinu lika omeđenog kružnicama $x^2+y^2=2x$ i $x^2+y^2=4x$ i pravcima $y=x$ i $y=0$ .

9.

Odredite površinu dijela ravnine $6x+3y+2z-12=0$ koji se nalazi u prvom oktantu projicirajući zadani dio ravnine na

a)

$xy$ - ravninu,

b)

$xz$ - ravninu.

10.

Odredite površinu dijela plašta kružnog stošca $x^2+y^2=z^2$ koji leži iznad ravnine $xy$ , a odsjeca ga ravnina $z=\sqrt 2\left (\frac{x}{2}+1\right)$ .

11.

Izračunajte integral $$\iiint\limits_{V}\frac{ dx dy dz}{\left( 1+x+y+z\right) ^{3}}$$ , gdje je područje V omeđeno ravninama $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ i $x+y+z=1$ .

12.

Izračunajte integral $$\iiint\limits_{V}\left( x+y+z\right) dx dy dz$$ , gdje je područje V omeđeno ravninama $x=0$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=1$ , $z=0$ i $z=1$ .

13.

Izračunajte integral $$\iiint\limits_{V}z\sqrt{ x^{2}+y^{2}} dx dy dz$$ , gdje je $$V\ldots \left\{ \begin{array}{c} x^{2}+y^{2}\leq 2x \\ 0\leq y \\ 0\leq z\leq a \end{array} \right.$$ .

14.

Pomoću trostrukog integrala izračunajte volumen tijela omeđenog plohama:

a)

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$$ i $$x^{2}+y^{2}=3z$$ unutar paraboloida,

b)

$$\left( x-1\right) ^{2}+y^{2}=z$$ i $$2x+z=2$$ .

15.

Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama:

a)

$$z=4-y^{2}$$ , $$z=2+y^{2}$$ , $x=-1$ i $$x=2$$ ,

b)

$$z=x^{2}+y^{2}$$ i $$z=x+y$$ ,

c)

$$y=\frac{2}{3}x,z=0$$ i $$z=-\frac{x}{3}+3$$ , $$y=\frac{x}{3}$$ i $x=3$ ,

d)

$$\left( z-1\right) ^{2}+y^{2}=x$$ i $$x+2z=2$$ .

16.

Izračunajte volumen kugle radijusa $R$ .

17.

Izračunajte koordinate težišta homogenog tijela omeđenog plohama $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2z$$ i $$x^{2}+y^{2}=z^{2}$$ unutar stošca.

18.

Izračunajte derivaciju funkcije $I(x)=\displaystyle \int\limits_0^x (t-x)u(t) dt$ .

19.

Odredite funkciju $y(x)$ za koju zadani funkcional uz zadane uvjete postiže ekstremnu vrijednost te odredite radi li se o lokalnom minimumu ili maksimumu i koja je to vrijednost:

a)

$$\int\limits_1^2 \frac{y'^2}{x^3} dx$$ , $y(1)=1$ , $y(2)=0$ ,

b)

$$\int\limits_0^1 (y^2+y'^2+2 y e^x) dx$$ , $y(0)=0$ , $y(1)=0$ .

Ekstremi funkcionala     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Rješenja zadataka za vježbu