Područje integracije u trostrukom integralu

Postavite granice za integral $\displaystyle I=\iiint\limits_{V}f\left( x,y,z\right) dx dy dz$ ako je područje V

a): kugla radijusa 2 sa središtem u ishodištu,
b): unutrašnjost stošca $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ uz uvjet $\displaystyle 0\leq z\leq 5$ .

Rješenje.

a)

Jednadžba središnje sfere radijusa

(slika 4.10) glasi

$\displaystyle x^2+y^2+z^2=4$ .

**Slika:** Kugla radijusa 2 sa središtem u ishodištu, te njezina projekcija na ravninu.
$\begin{figure}\centering \begin{tabular}{cc} \epsfig{file=sl27_trostruki_inte... ...{file=sl28_trostruki_integral1.eps, width=5cm} \end{tabular} \end{figure}$

Rub njene projekcije na ravninu je kružnica s jednadžbom

$\displaystyle x^2+y^2=4$ ,

pa je područje integracije zadano s

$\displaystyle -2$	$\displaystyle \le x\le 2,$
$\displaystyle -\sqrt{4-x^2}$	$\displaystyle \le y\le \sqrt{4-x^2},$
$\displaystyle -\sqrt{4-x^2-y^2}$	$\displaystyle \le z\le \sqrt{4-x^2-y^2}\}$ ,

i prema

[M2, poglavlje 4.3] vrijedi

$\displaystyle \displaystyle I=\iiint\limits_{V}f\left( x,y,z\right) dx dy ... ...qrt{4-x^2}} dy\int\limits_{-\sqrt{4-x^2-y^2}}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}f(x,y,z) dz$

b)

Projekcija stošca na

ravninu (slika 4.11) je krug

$\displaystyle x^2+y^2\leq 25$ ,

pa vrijedi

$\displaystyle \displaystyle I=\iiint\limits_{V}f\left( x,y,z\right) dx dy ... ...qrt{25-x^2}}^{\sqrt{25-x^2}} dy\int\limits_{\sqrt{x^2+y^2}}^{5} f(x,y,z) dz$

**Slika:** Stožac određen sa $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ , $\displaystyle 0\leq z\leq 5$ , i njegova projekcija na ravninu.
$\begin{figure}\centering \begin{tabular}{cc} \epsfig{file=sl34_trostruki_inte... ...{file=sl35_trostruki_integral1.eps, width=5cm} \end{tabular} \end{figure}$

Površina dijela plohe u VIŠESTRUKI INTEGRALI Neposredna integracija u trostrukom