×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Površina ravninskog lika     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Volumen tijela, 2. primjer


Volumen tijela, 1. primjer

Izračunajte volumen tijela koje je omeđeno plohama $ z=x^2+y^2$ , $ z=0$ , $ y=2x$ , $ y=6-x$ i $ y=1$ .

Rješenje.

Volumen tijela $ \Omega$ koje je omeđeno bazom $ D$ u $ xy$ -ravnini i plohom $ z=f(x,y)$ , prema [*][M2, poglavlje 4.2.1], dan je s

$\displaystyle \displaystyle V(\Omega) = \iint\limits_D f(x,y)  dx  dy=\iint\limits_D z  dP$    

Slika: Tijelo omeđeno plohama $ z=x^2+y^2$ , $ z=0$ , $ y=2x$ , $ y=6-x$ i $ y=1$ , te njegova projekcija na $ xy$ ravninu.
\begin{figure}\centering
\begin{tabular}{cc}
\epsfig{file=sl21_dvostruki_inte...
...g{file=sl22_dvostruki_integral.eps, width=5cm}
\end{tabular}
\end{figure}

Na slici 4.7 je prikazano tijelo čiji volumen želimo izračunati i njegova projekcija na $ xy$ ravninu. Budući da je tijelo odozgo omeđeno plohom $ \displaystyle z=x^2+y^2$ , vrijedi

$\displaystyle V$ $\displaystyle =\iint\limits_{V_{xy}}\left( x^{2}+y^{2}\right)
  dx dy=\int\li...
...{x^{3}}{3}
 +xy^{2}\right) \underset{\frac{1}{2}y}{\overset{6-y}{\bigg\vert}}dy$    
  $\displaystyle =\int\limits_{1}^{4}\left[ \frac{\left( 6-y\right) ^{3}}{3}+\left(
 6-y\right) y^{2}-\frac{1}{3}\frac{y^{3}}{8}+\frac{1}{2}yy^{2}\right]
  dy$    
  $\displaystyle =\int\limits_{1}^{4}\left( 72-36y+6y^{2}-\frac{y^{3}}{3}+6y^{2}-y^{3}-
 \frac{y^{3}}{24}-\frac{y^{3}}{2}\right)  dy$    
  $\displaystyle =\int\limits_{1}^{4}\left( -\frac{15}{8}y^{3}+12y^{2}-36y+72\right)
  dy$    
  $\displaystyle =\left( -\frac{15}{8}\frac{y^{4}}{4}+12\frac{y^{3}}{3}-36\frac{y^{2}}{2}
 +72y\right) \underset{1}{\overset{4}{\bigg\vert}}=\frac{2511}{32}$.    


Površina ravninskog lika     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Volumen tijela, 2. primjer