Tangencijalna ravnina i normala

Odredite tangencijalnu ravninu i normalu na plohu $\displaystyle z=x^2+y^2$ u točki $\displaystyle T(1,-2,z_0)$ .

Rješenje.

Budući da točka pripada zadanoj plohi vrijedi $\displaystyle z_0=1+(-2)^2=5$ , tj. točka ima koordinate $\displaystyle T(1,-2,5)$ .

Prema fomuli za jednadžbu tangencijalne ravnine na plohu u točki $\displaystyle \left( x_0,y_0\right)$ [M2, poglavlje 3.7]

$\displaystyle z-z_0=\frac{\partial f}{\partial x}\left( x_0,y_0\right)\left( x-x_0\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left( x_0,y_0\right)\left( y-y_0\right)$

slijedi

$\displaystyle z-5=2(x-1)+(-4)(y+2)$ ,

tj. tražena tangencijalna ravnina na zadani paraboloid (slika 3.6) ima jednadžbu

$\displaystyle 2x-4y-z-5=0.$

**Slika:** Tangencijalna ravnina na plohu $\displaystyle z=x^2+y^2$ u točki $\displaystyle T(1,-2,5)$
$\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl6_tangencijalna.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}$

Jednadžba normale na plohu u točki $\displaystyle \left( x_0,y_0\right)$ plohe dana je s

$\displaystyle \frac{x-x_0}{\frac{\partial f}{\partial x}\left( x_0,y_0\right)}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial f}{\partial y}\left( x_0,y_0\right)}=\frac{z-z_0}{-1}.$

pa je tražena normala

$\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z-5}{-1}.$

Totalni diferencijal implicitno zadane FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA Primjer primjene tangencijalnih ravnina