Singularna rješenja i ovojnice

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda oblika

$\displaystyle F(x,y,y')=0$

skup je funkcija $\Phi(x,y,C)=0$ ovisnih o parametru

. No, u nekim slučajevima diferencijalna jednadžba ima i rješenje $\Psi(x,y)=0$ koje se ne može dobiti iz općeg rješenja ni za jednu vrijednost parametra

. Takvo rješenje zove se singularno rješenje i ima sljedeća svojstva koja navodimo bez dokaza:

S1.

kroz svaku točku $\Psi(x,y)=0$ prolaze dva rješenja polazne diferencijalne jednadžbe,

S2.

krivulja $\Psi(x,y)=0$ je ovojnica obitelji krivulja $\Phi(x,y,C)=0$ , odnosno krivulja $\Psi(x,y)=0$ u svakoj svojoj točki dira jednu od krivulja iz obitelji $\Phi(x,y,C)=0$ ,

S3.

singularno rješenje $\Psi(x,y)=0$ se dobije eliminacijom parametra

iz sustava jednadžbi

$\displaystyle \Phi(x,y,C)$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial C} \Phi(x,y,C)$	$\displaystyle =0.$

Primjer 5.14 Nađimo singularno rješenje diferencijalne jednadžbe

$\displaystyle y^2(1+y'^2)=\alpha^2, \qquad \alpha\in\mathbb{R}.$

Vrijedi

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\pm \frac{\sqrt{\alpha^2-y^2}}{y}.$

Separacija varijabli daje

$\displaystyle \frac{y dy}{\pm \sqrt{\alpha^2-y^2}}=dx.$

pa je rješenje jednadžbe obitelj kružnica radijusa $\alpha$ sa središtem na

-osi:

$\displaystyle (x-C)^2+y^2=\alpha^2.$

Ovojnice ove obitelji su pravci $y=\alpha$ i $y=-\alpha$ (vidi sliku 5.14), a prema svojstvu S2 to su ujedno i singularna rješenje polazne jednadžbe što se lako provjeri uvrštavanjem.

Singularno rješenje smo mogli dobiti i pomoću svojstva S3: jednakost

$\displaystyle \Phi'_C(x,y,C)=[(x-C)^2+y^2-\alpha^2]'_C=-2 (x-C)=0$