×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Implicitno zadane funkcije     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     VIŠESTRUKI INTEGRALI


Uvjetni ekstremi

Pretpostavimo da su zadane dvije funkcije dviju varijabla $ f,\varphi:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ definirane na skupu $ D\subseteq \mathbb{R}^2$ . Funkciji $ \varphi $ pridružimo implicitnu jednadžbu

$\displaystyle \varphi (x,y)=0
$

i pripadajući skup $ S\subseteq \mathcal{D}$ definiran tom jednadžbom

$\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathcal{D}\mid \varphi (x,y)=0\}.
$

Definicija 3.14   Ako za točku $ T_0=(x_0,y_0)\in S$ postoji okolina $ K(T_0,\delta)\subseteq \mathcal{D}$ takva da je

$\displaystyle f(x,y)>f(x_0,y_0),\qquad \forall (x,y)\in S\cap K(T_0,\delta)\setminus
\{T_0\},
$

onda funkcija $ f$ u točki $ T_0$ ima uvjetni (vezani) lokalni minimum uz uvjet $ \varphi (x,y)=0$ . Ako je

$\displaystyle f(x,y)<f(x_0,y_0),\qquad \forall (x,y)\in S\cap K(T_0,\delta)\setminus
\{T_0\},
$

onda funkcija $ f$ u točki $ T_0$ ima uvjetni (vezani) lokalni maksimum uz uvjet $ \varphi (x,y)=0$ . Zajedničkim imenom točke uvjetnih lokalnih minimuma ili maksimuma zovemo točkama uvjetnih (vezanih) lokalnih ekstrema .

Problem određivanja točaka u kojima funkcija $ z=f(x,y)$ ima vezane lokalne ekstreme uz uvjet $ \varphi (x,y)=0$ kraće zapisujemo

\begin{displaymath}
\begin{cases}
z=f(x,y)\to \min,\max \\
\varphi(x,y)=0 .
\end{cases}\end{displaymath}

Taj problem možemo geometrijski interpretirati na sljedeći način: među točkama $ (x,y,z)$ plohe zadane eksplicitno sa $ z=f(x,y)$ čije prve dvije koordinate određuju točku iz skupa $ S$ tražimo one u kojima je vrijednost treće koordinate $ z$ lokalno najmanja (najveća) (vidi sliku 3.36).

Slika 3.36: Problem vezanog ekstrema
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/veze1.eps,width=10cm}
\end{center}\end{figure}

Ukoliko su funkcije $ f$ i $ \varphi $ kojima je zadan problem vezanog ekstrema dovoljno lijepe (na primjer neprekidno derivabilne) mogu se dati nužni i dovoljni uvjeti da bi točka $ (x_0,y_0)$ bila rješenje tog problema.

Promatramo dakle gore opisani problem vezanog ekstrema i pretpostavljamo da funkcije $ f$ i $ \varphi $ imaju neprekidne sve parcijalne derivacije do uključivo drugog reda. Neka je točka $ (x_0,y_0)\in S$ takva da je

$\displaystyle \varphi'_y(x_0,y_0)\neq 0.
$

Prema tvrdnji i. teorema 3.9 postoji otvoreni interval $ I\subseteq \mathbb{R}$ oko točke $ x_0$ i točno jedna funkcija $ y=g(x)$ , $ y:I\to \mathbb{R}$ implicitno zadana jednadžbom $ \varphi (x,y)=0$ . Zbog toga funkciju $ z=f(x,y)$ , $ (x,y)\in S$ možemo u nekoj okolini točke $ (x_0,y_0)$ interpretirati kao funkciju jedne varijable $ x$ ,

$\displaystyle z=\tilde{f}(x)=f(x,g(x)),\qquad x\in I
$

Očigledno vrijedi sljedeća tvrdnja: Funkcija $ f$ u točki $ (x_0,y_0)$ ima lokalni uvjetni minimum (maksimum) ako i samo ako funkcija $ \tilde{f}$ u točki $ x_0$ ima lokalni minimum (maksimum).

Prema tvrdnji ii. teorema 3.9 znamo da je funkcija $ g$ neprekidno derivabilna na intervalu $ I$ i vrijedi

$\displaystyle g'(x)=-\frac{\varphi'_x(x,y)}{\varphi'_y(x,y)}. % \tag{A1}
$ (3.3)

Zbog pretpostavke da funkcija $ \varphi $ ima neprekidne parcijalne derivacije drugog reda, zaključujemo da funkcija $ g$ na intervalu $ I$ ima neprekidnu drugu derivaciju. Iz formule (3.3) koristeći formulu za derivaciju kompozicije funkcija više varijabla dobivamo da je $ g''(x)$ jednako

$\displaystyle -\frac{\left[\varphi''_{xx}(x,y)+\varphi''_{xy}(x,y)g'(x)\right]
...
...eft[\varphi''_{yx}(x,y)+\varphi''_{yy}
(x,y) g'(x)\right]}{\varphi'_y(x,y)^2}.
$

Sređivanjem i još jednom upotrebom formule (3.3) dobivamo

$\displaystyle g''(x)=-\frac{1}{\varphi'_y(x,y)}\left[\varphi''_{xx}(x,y)+2 \varphi''_{xy}(x,y) g'(x)+\varphi''_{yy}(x,y)g'(x)^2 \right]. % \tag{A2}
$ (3.4)

Zbog pretpostavke da funkcija $ f$ ima neprekidne parcijalne derivacije drugog reda zaključujemo da i funkcija $ \tilde{f}$ ima na $ I$ neprekidnu prvu i drugu derivaciju. Koristeći opet formulu za deriviranje kompozicije funkcija više varijabla, dobivamo da za sve $ x\in I$ vrijedi

$\displaystyle \tilde{f}'(x)=f'_x(x,y)+f'_y(x,y)g'(x). % \tag{B1}
$ (3.5)

Iz ove formule još jednim deriviranjem dobivamo da je $ \tilde{f}''(x)$ jednako

$\displaystyle f''_{xx}(x,y)+f''_{xy}(x,y)g'(x)+\left[f''_{yx}(x,y)+
f''_{yy}(x,y)g'(x)\right]g'(x)+f'_y(x,y)g''(x).
$

Nakon sređivanja i uvrštavanja izraza za $ g''(x)$ danog formulom (3.4) dobivamo

\begin{equation*}\begin{aligned}\tilde{f}''(x)&=f''_{xx}(x,y)+2f''_{xy}(x,y)g'(x...
..._{xy}(x,y)g'(x)+\varphi''_{yy}(x,y)g'(x)^2 \right]. \end{aligned}\end{equation*}

Sad možemo lako dokazati sljedeći teorem.

Teorem 3.10   [Nužan i dovoljan uvjet uvjetnog ekstrema]Neka funkcije

$\displaystyle f,\varphi:\mathcal{D}\to\mathbb{R},  \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^2,$

imaju na skupu $ \mathcal{D}$ neprekidne sve parcijalne derivacije do uključivo drugog reda.
i.
Ako funkcija $ f$ u točki $ (x_0,y_0)\in \mathcal{D}$ u kojoj je $ \varphi'_y(x_0,y_0)\neq 0$ ima lokalni uvjetni ekstrem uz uvjet $ \varphi (x,y)=0$ , onda mora postojati realan broj $ \lambda_0$ takav da za trojku $ (x_0,y_0,\lambda_0)$ vrijedi

\begin{displaymath}\begin{cases}f'_x(x_0,y_0)+\lambda_0\varphi'_x(x_0,y_0)=0, ...
...bda_0\varphi'_y(x_0,y_0)=0, \varphi(x_0,y_0)=0. \end{cases}\end{displaymath} (3.7)

ii.
Ako su točka $ (x_0,y_0)\in \mathcal{D}$ i realan broj $ \lambda_0$ takvi da trojka $ (x_0,y_0,\lambda_0)$ zadovoljava uvjet (3.7) i ako je

$\displaystyle \tilde{f}''(x_0)\neq 0,
$

pri čemu je $ \tilde{f}''(x)$ definirano formulom (3.6), onda funkcija $ f$ u točki $ (x_0,y_0)$ ima lokalni uvjetni ekstrem uz uvjet $ \varphi (x,y)=0$ i to minimum ako je $ \tilde{f}''(x_0)> 0$ , odnosno maksimum ako je $ \tilde{f}''(x_0)< 0$ .

Dokaz.
Treća jednakost u (3.7) je očito nužna prema definiciji 3.14. Zbog pretpostavke da je $ \varphi'_y(x_0,y_0)\neq 0$ vrijede sva prethodna razmatranja pa je pretpostavka da funkcija $ f$ u točki $ (x_0,y_0)$ ima lokalni ekstrem uz uvjet $ \varphi (x,y)=0$ ekvivalentna pretpostavci da funkcija $ \tilde{f}$ jedne varijable $ x$ ima lokalni ekstrem u točki $ x_0$ . Zato je nužno da bude $ \tilde{f}'(x_0)=0$ , što zbog (3.5) daje jednakost

$\displaystyle f'_x(x_0,y_0)+f'_y(x_0,y_0)g'(x_0)=0.
$

Ovu jednakost, uvažavajući formulu (3.3), možemo zapisati u obliku

$\displaystyle f'_x(x_0,y_0)+\left(-\frac{f'_y(x_0,y_0)}
{\varphi'_y(x_0,y_0)}\right)\varphi'_x(x_0,y_0)=0.
$ (3.8)

Definirajmo

$\displaystyle \lambda_0=-\frac{f'_y(x_0,y_0)}{\varphi'_y(x_0,y_0)}
$

što je upravo druga jednakost u (3.7). Sada (3.8) postaje prva jednakost u (3.7) pa je prvi dio teorema dokazan.

Istinitost drugog dijela teorema slijedi neposredno primjenom dovoljnih uvjeta za običan ekstrem funkcije $ \tilde{f}$ jedne varijable $ x$ i uvažavanjem razmatranja koja su prethodila teoremu.     

Q.E.D.

Napomena 3.13   Jasno je da zbog ravnopravnosti varijabla $ x$ i $ y$ sve što smo do sada rekli o problemu uvjetnog ekstrema vrijedi i ako zamijenimo uloge varijabla. To znači da smo, umjesto od pretpostavke da je $ \varphi'_y(x_0,y_0)\neq 0$ , u promatranoj točki mogli krenuti od pretpostavke da je $ \varphi'_x(x_0,y_0)\neq 0$ . Zbog simetrije po $ x$ i $ y$ nužan uvjet (3.7) lokalnog uvjetnog ekstrema ostao bi isti, dok bi se dovoljan uvjet iskazao pomoću vrijednosti $ \tilde{f}''(y_0)$ . Pri tome bi $ \tilde{f}''(y)$ bilo definirano desnom stranom jednadžbe (3.6), pri čemu je $ g'(x)$ zamijenjeno s $ g'(y)=-\varphi'_y(x,y)/\varphi'_x(x,y)$ , a faktor $ -f'_y(x,y)/\varphi'_y(x,y)$ zamijenjen faktorom $ -f'_x(x,y)/\varphi'_x(x,y)$ .

Problem uvjetnog ekstrema

\begin{displaymath}
\begin{cases}
z=f(x,y)\to \min,\max\\
\varphi(x,y)=0\end{cases}\end{displaymath}

možemo riješiti uvođenjem Lagrangeove funkcije (Lagrangeijana) $ L(x,y,\lambda)$ triju nezavisnih varijabla $ x,y$ i $ \lambda$ :

$\displaystyle L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y),\qquad (x,y)\in \mathcal{D},
\quad \lambda\in\mathbb{R}.
$

Parametar $ \lambda$ zove se Lagrangeov multiplikator. Očito je da se nužan uvjet (3.7) lokalnog uvjetnog ekstrema funkcije $ f(x,y)$ uz uvjet $ \varphi (x,y)=0$ u točki $ (x_0,y_0)$ podudara s nužnim uvjetom običnog ekstrema Lagrangeove funkcije $ L(x,y,\lambda)$ u točki $ (x_0,y_0,\lambda_0)$ . Što se tiče dovoljnih uvjeta, neposrednim se računom može provjeriti da se vrijednost $ \tilde{f}''(x_0)$ može izraziti kao

$\displaystyle \tilde{f}''(x_0)=-\frac{1}{\varphi'_y(x_0,y_0)^2}
\begin{vmatrix}...
..._0,y_0)&L''_{xy}(x_0,y_0,\lambda_0)&
L''_{yy}(x_0,y_0,\lambda_0)\end{vmatrix}.
$

Naravno, s izmijenjenim ulogama varijabla $ x$ i $ y$ imali bi

$\displaystyle \tilde{f}''(y_0)=-\frac{1}{\varphi'_x(x_0,y_0)^2}
\begin{vmatrix}...
...0,y_0)&L''_{xy}(x_0,y_0,\lambda_0)&
L''_{yy}(x_0,y_0,\lambda_0)
\end{vmatrix}.
$

To nam daje sljedeću jednostavniju formulaciju dovoljnih uvjeta: neka trojka $ (x_0,y_0,\lambda_0)$ zadovoljava uvjet (3.7) i neka je

$\displaystyle \Delta =
\begin{vmatrix}0&\varphi'_x(x_0,y_0)&\varphi'_y(x_0,y_0)...
...0,y_0)&L''_{xy}(x_0,y_0,\lambda_0)&
L''_{yy}(x_0,y_0,\lambda_0)
\end{vmatrix}.
$

Ako je $ \Delta <0$ , onda funkcija $ f$ ima lokalni uvjetni minimum u točki $ (x_0,y_0)$ , a ako je $ \Delta>0$ , onda funkcija $ f$ ima lokalni uvjetni maksimum u točki $ (x_0,y_0)$ .

Ako trojka $ (x_0,y_0,\lambda_0)$ zadovoljava uvjet (3.7), možemo promatrati samo vrijednost

$\displaystyle \delta =
\begin{vmatrix}L''_{xx}(x_0,y_0,\lambda_0)&L''_{xy}(x_0,...
...a_0)\\
L''_{xy}(x_0,y_0,\lambda_0)&L''_{yy}(x_0,y_0,\lambda_0)
\end{vmatrix}.
$

Vrijedi sljedeće: ako je $ \delta >0$ i $ L''_{xx}(x_0,y_0,\lambda_0)>0$ , onda je $ \Delta <0$ pa funkcija $ f$ ima lokalni uvjetni minimum u točki $ (x_0,y_0)$ , a ako je $ \delta >0$ i $ L''_{xx}(x_0,y_0,\lambda_0)<0$ , onda je $ \Delta>0$ pa funkcija $ f$ ima lokalni uvjetni maksimum u točki $ (x_0,y_0)$ . Ako je $ \delta\leq 0$ ne možemo ništa zaključiti, već moramo izračunati $ \Delta$ .

Nalaženje uvjetnog ekstrema ilustrirat ćemo s tri primjera.

Primjer 3.22   Neka je zadan problem uvjetnog ekstrema

\begin{displaymath}\begin{cases}
z=xy\to \min,\max\\
x^2+y^2-2=0 .\end{cases}\end{displaymath}

Pridružena Lagrangeova funkcija je

$\displaystyle L(x,y,\lambda)=xy+\lambda(x^2+y^2-2)
$

pa je nužan uvjet ekstrema

$\displaystyle L'_x$ $\displaystyle =y+2\lambda x=0$    
$\displaystyle L'_y$ $\displaystyle =x+2\lambda y=0$    
$\displaystyle L'_\lambda$ $\displaystyle =x^2+y^2-2=0.$    

Iz prve dvije jednadžbe dobivamo

$\displaystyle \lambda=-\frac{y}{2x}=-\frac{x}{2y}
$

odakle slijedi

$\displaystyle y^2=x^2\quad\Rightarrow\qquad y=\pm x.
$

Uvrštavanje u treću jednadžbu daje

$\displaystyle x^2+(\pm x)^2-2=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
$

Zaključujemo da točno četiri točke zadovoljavaju nužan uvjet ekstrema:

$\displaystyle T_1$ $\displaystyle =(-1,1),\quad \lambda_1=\frac{1}{2},$    
$\displaystyle T_2$ $\displaystyle =(1,-1),\quad \lambda_2=\frac{1}{2},$    
$\displaystyle T_3$ $\displaystyle =(-1,-1),\quad \lambda_3=-\frac{1}{2},$    
$\displaystyle T_4$ $\displaystyle =(1,1),\quad \lambda_4=-\frac{1}{2}.$    

Kako je

$\displaystyle \delta=
\begin{vmatrix}L''_{xx}&L''_{xy} L''_{xy}&L''_{yy}\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}2\lambda&1 1&2\lambda\end{vmatrix}=4\lambda^2-1,
$

uvrštavanjem odgovarajućih vrijednosti $ \lambda$ za sve četiri točke dobivamo $ \delta=0$ pa moramo računati

$\displaystyle \Delta=
\begin{vmatrix}0&\varphi'_x&\varphi'_y \varphi'_x&L''_{...
...vmatrix}=
\begin{vmatrix}0&2x&2y 2x&2\lambda&1 2y&1&2\lambda\end{vmatrix}.
$

Uvrštavanjem točaka dobivamo sljedeće: u točkama $ T_1$ i $ T_2$ je $ \Delta=-16<0$ , a u točkama $ T_3$ i $ T_4$ je $ \Delta=16>0$ . Zaključujemo da funkcija $ z=xy$ ima u točkama $ T_1$ i $ T_2$ lokalni uvjetni minimum uz uvjet $ x^2+y^2-2=0$ , a u točkama $ T_3$ i $ T_4$ lokalni uvjetni maksimum (vidi sliku 3.37).

Slika 3.37: Vezani ekstremi
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/veze2.eps,width=10.0cm}
\end{center}\end{figure}

Primjer 3.23   Za problem vezanog ekstrema

\begin{displaymath}
\begin{cases}
z=x^2+y^2\to \min,\max\\
x+y-2=0\end{cases}\end{displaymath}

imamo Lagrangeovu funkciju

$\displaystyle L(x,y,\lambda)=x^2+y^2+\lambda(x+y-2).
$

Nužan uvjet ekstrema glasi

$\displaystyle L'_x$ $\displaystyle =2x+\lambda =0$    
$\displaystyle L'_y$ $\displaystyle =2y+\lambda =0$    
$\displaystyle L'_\lambda$ $\displaystyle =x+y-2=0.$    

Iz prve dvije jednadžbe dobivamo

$\displaystyle \lambda=-2x=-2y \quad \Rightarrow \quad y=x,
$

pa uvrštavanjem u treću jednadžbu dobijamo

$\displaystyle x+x-2=0\quad\Rightarrow\quad x=1.
$

Zaključujemo da nužan uvjet zadovoljava samo točka

$\displaystyle T_0=(1,1),\quad \lambda_0=-2.
$

Kako je

$\displaystyle \delta=
\begin{vmatrix}L''_{xx}&L''_{xy} L''_{xy}&L''_{yy}\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}2&0 0&2\end{vmatrix}=4,
$

vidimo da u točki $ T_0$ vrijedi $ L''_{xx}(1,1,-2)=2>0$ i $ \delta=4>0 $ . Stoga ne moramo računati vrijednost $ \Delta$ , već smijemo zaključiti da funkcija $ z=x^2+y^2$ u točki $ T_0$ ima lokalni uvjetni minimum uz uvjet $ x+y-2=0$ (vidi sliku 3.38).

Slika 3.38: Lokalni vezani minimum
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/veze3.eps,width=10.0cm}
\end{center}\end{figure}

Primjer 3.24   Problemu uvjetnog ekstrema

\begin{displaymath}
\begin{cases}
z=xy\to \min,\max\\
y-x=0\end{cases}\end{displaymath}

pridružena je Lagrangeova funkcija

$\displaystyle L(x,y,\lambda)=xy+\lambda(y-x)
$

pa nužan uvjet ekstrema glasi

$\displaystyle L'_x$ $\displaystyle =y-\lambda =0$    
$\displaystyle L'_y$ $\displaystyle =x+\lambda =0$    
$\displaystyle L'_\lambda$ $\displaystyle =y-x=0.$    

Očigledno je da su gornje jednadžbe zadovoljene samo u točki

$\displaystyle T_0=(0,0),\quad \lambda_0=0.
$

Također imamo

$\displaystyle \delta=
\begin{vmatrix}L''_{xx}&L''_{xy} L''_{xy}&L''_{yy}\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}0&1 1&0\end{vmatrix}=-1
$

što znači da u točki $ T_0$ vrijedi $ \delta=-1<0 $ pa moramo računati vrijednost $ \Delta$ . Vrijedi

$\displaystyle \Delta=
\begin{vmatrix}0&\varphi'_x&\varphi'_y \varphi'_x&L''_{...
...L''_{yy} \end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}0&-1&1 -1&0&1 1&1&0\end{vmatrix}=-2
$

pa je $ \Delta=-2<0$ i u točki $ T_0$ . Zaključujemo da funkcija $ z=xy$ u točki $ T_0$ ima lokalni uvjetni minimum uz uvjet $ y-x=0$ (vidi sliku 3.39).

Slika 3.39: Lokalni uvjetni minimum
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/veze4.eps,width=9.0cm}
\end{center}\end{figure}


Implicitno zadane funkcije     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     VIŠESTRUKI INTEGRALI