×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Implicitno zadane funkcije     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     VIŠESTRUKI INTEGRALI

Uvjetni ekstremi

Pretpostavimo da su zadane dvije funkcije dviju varijabla $f,\varphi:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ definirane na skupu $D\subseteq \mathbb{R}^2$ . Funkciji $\varphi$ pridružimo implicitnu jednadžbu

$$\varphi (x,y)=0$$

i pripadajući skup $S\subseteq \mathcal{D}$ definiran tom jednadžbom

$$S=\{(x,y)\in \mathcal{D}\mid \varphi (x,y)=0\}.$$

Definicija 3.14   Ako za točku $T_0=(x_0,y_0)\in S$ postoji okolina $K(T_0,\delta)\subseteq \mathcal{D}$ takva da je

$$f(x,y)>f(x_0,y_0),\qquad \forall (x,y)\in S\cap K(T_0,\delta)\setminus \{T_0\},$$

onda funkcija $f$ u točki $T_0$ ima uvjetni (vezani) lokalni minimum uz uvjet $\varphi (x,y)=0$ . Ako je

$$f(x,y)<f(x_0,y_0),\qquad \forall (x,y)\in S\cap K(T_0,\delta)\setminus \{T_0\},$$

onda funkcija $f$ u točki $T_0$ ima uvjetni (vezani) lokalni maksimum uz uvjet $\varphi (x,y)=0$ . Zajedničkim imenom točke uvjetnih lokalnih minimuma ili maksimuma zovemo točkama uvjetnih (vezanih) lokalnih ekstrema .

Problem određivanja točaka u kojima funkcija $z=f(x,y)$ ima vezane lokalne ekstreme uz uvjet $\varphi (x,y)=0$ kraće zapisujemo

$$\begin{cases} z=f(x,y)\to \min,\max \\ \varphi(x,y)=0 . \end{cases}$$

Taj problem možemo geometrijski interpretirati na sljedeći način: među točkama $(x,y,z)$ plohe zadane eksplicitno sa $z=f(x,y)$ čije prve dvije koordinate određuju točku iz skupa $S$ tražimo one u kojima je vrijednost treće koordinate $z$ lokalno najmanja (najveća) (vidi sliku 3.36).

Slika 3.36: Problem vezanog ekstrema

Ukoliko su funkcije $f$ i $\varphi$ kojima je zadan problem vezanog ekstrema dovoljno lijepe (na primjer neprekidno derivabilne) mogu se dati nužni i dovoljni uvjeti da bi točka $(x_0,y_0)$ bila rješenje tog problema.

Promatramo dakle gore opisani problem vezanog ekstrema i pretpostavljamo da funkcije $f$ i $\varphi$ imaju neprekidne sve parcijalne derivacije do uključivo drugog reda. Neka je točka $(x_0,y_0)\in S$ takva da je

$$\varphi'_y(x_0,y_0)\neq 0.$$

Prema tvrdnji i. teorema 3.9 postoji otvoreni interval $I\subseteq \mathbb{R}$ oko točke $x_0$ i točno jedna funkcija $y=g(x)$ , $y:I\to \mathbb{R}$ implicitno zadana jednadžbom $\varphi (x,y)=0$ . Zbog toga funkciju $z=f(x,y)$ , $(x,y)\in S$ možemo u nekoj okolini točke $(x_0,y_0)$ interpretirati kao funkciju jedne varijable $x$ ,

$$z=\tilde{f}(x)=f(x,g(x)),\qquad x\in I$$

Očigledno vrijedi sljedeća tvrdnja: Funkcija $f$ u točki $(x_0,y_0)$ ima lokalni uvjetni minimum (maksimum) ako i samo ako funkcija $\tilde{f}$ u točki $x_0$ ima lokalni minimum (maksimum).

Prema tvrdnji ii. teorema 3.9 znamo da je funkcija $g$ neprekidno derivabilna na intervalu $I$ i vrijedi

$$g'(x)=-\frac{\varphi'_x(x,y)}{\varphi'_y(x,y)}. % \tag{A1}$$ (3.3)

Zbog pretpostavke da funkcija $\varphi$ ima neprekidne parcijalne derivacije drugog reda, zaključujemo da funkcija $g$ na intervalu $I$ ima neprekidnu drugu derivaciju. Iz formule (3.3) koristeći formulu za derivaciju kompozicije funkcija više varijabla dobivamo da je $g''(x)$ jednako

$$-\frac{\left[\varphi''_{xx}(x,y)+\varphi''_{xy}(x,y)g'(x)\right] ... ...eft[\varphi''_{yx}(x,y)+\varphi''_{yy} (x,y) g'(x)\right]}{\varphi'_y(x,y)^2}.$$

Sređivanjem i još jednom upotrebom formule (3.3) dobivamo

$$g''(x)=-\frac{1}{\varphi'_y(x,y)}\left[\varphi''_{xx}(x,y)+2 \varphi''_{xy}(x,y) g'(x)+\varphi''_{yy}(x,y)g'(x)^2 \right]. % \tag{A2}$$ (3.4)

Zbog pretpostavke da funkcija $f$ ima neprekidne parcijalne derivacije drugog reda zaključujemo da i funkcija $\tilde{f}$ ima na $I$ neprekidnu prvu i drugu derivaciju. Koristeći opet formulu za deriviranje kompozicije funkcija više varijabla, dobivamo da za sve $x\in I$ vrijedi

$$\tilde{f}'(x)=f'_x(x,y)+f'_y(x,y)g'(x). % \tag{B1}$$ (3.5)

Iz ove formule još jednim deriviranjem dobivamo da je $\tilde{f}''(x)$ jednako

$$f''_{xx}(x,y)+f''_{xy}(x,y)g'(x)+\left[f''_{yx}(x,y)+ f''_{yy}(x,y)g'(x)\right]g'(x)+f'_y(x,y)g''(x).$$

Nakon sređivanja i uvrštavanja izraza za $g''(x)$ danog formulom (3.4) dobivamo

$$\begin{aligned}\tilde{f}''(x)&=f''_{xx}(x,y)+2f''_{xy}(x,y)g'(x... ..._{xy}(x,y)g'(x)+\varphi''_{yy}(x,y)g'(x)^2 \right]. \end{aligned}$$

Sad možemo lako dokazati sljedeći teorem.

Teorem 3.10   [Nužan i dovoljan uvjet uvjetnog ekstrema]Neka funkcije

$$f,\varphi:\mathcal{D}\to\mathbb{R}, \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^2,$$

imaju na skupu $\mathcal{D}$ neprekidne sve parcijalne derivacije do uključivo drugog reda.

i.

Ako funkcija $f$ u točki $(x_0,y_0)\in \mathcal{D}$ u kojoj je $\varphi'_y(x_0,y_0)\neq 0$ ima lokalni uvjetni ekstrem uz uvjet $\varphi (x,y)=0$ , onda mora postojati realan broj $\lambda_0$ takav da za trojku $(x_0,y_0,\lambda_0)$ vrijedi

$$\begin{cases}f'_x(x_0,y_0)+\lambda_0\varphi'_x(x_0,y_0)=0, ... ...bda_0\varphi'_y(x_0,y_0)=0, \varphi(x_0,y_0)=0. \end{cases}$$ (3.7)

ii.

Ako su točka $(x_0,y_0)\in \mathcal{D}$ i realan broj $\lambda_0$ takvi da trojka $(x_0,y_0,\lambda_0)$ zadovoljava uvjet (3.7) i ako je

$$\tilde{f}''(x_0)\neq 0,$$

pri čemu je $\tilde{f}''(x)$ definirano formulom (3.6), onda funkcija $f$ u točki $(x_0,y_0)$ ima lokalni uvjetni ekstrem uz uvjet $\varphi (x,y)=0$ i to minimum ako je $\tilde{f}''(x_0)> 0$ , odnosno maksimum ako je $\tilde{f}''(x_0)< 0$ .

Dokaz.

Treća jednakost u (3.7) je očito nužna prema definiciji 3.14. Zbog pretpostavke da je $\varphi'_y(x_0,y_0)\neq 0$ vrijede sva prethodna razmatranja pa je pretpostavka da funkcija $f$ u točki $(x_0,y_0)$ ima lokalni ekstrem uz uvjet $\varphi (x,y)=0$ ekvivalentna pretpostavci da funkcija $\tilde{f}$ jedne varijable $x$ ima lokalni ekstrem u točki $x_0$ . Zato je nužno da bude $\tilde{f}'(x_0)=0$ , što zbog (3.5) daje jednakost

$$f'_x(x_0,y_0)+f'_y(x_0,y_0)g'(x_0)=0.$$

Ovu jednakost, uvažavajući formulu (3.3), možemo zapisati u obliku

$$f'_x(x_0,y_0)+\left(-\frac{f'_y(x_0,y_0)} {\varphi'_y(x_0,y_0)}\right)\varphi'_x(x_0,y_0)=0.$$ (3.8)

Definirajmo

$$\lambda_0=-\frac{f'_y(x_0,y_0)}{\varphi'_y(x_0,y_0)}$$

što je upravo druga jednakost u (3.7). Sada (3.8) postaje prva jednakost u (3.7) pa je prvi dio teorema dokazan.

Istinitost drugog dijela teorema slijedi neposredno primjenom dovoljnih uvjeta za običan ekstrem funkcije $\tilde{f}$ jedne varijable $x$ i uvažavanjem razmatranja koja su prethodila teoremu.     

Q.E.D.

Napomena 3.13   Jasno je da zbog ravnopravnosti varijabla $x$ i $y$ sve što smo do sada rekli o problemu uvjetnog ekstrema vrijedi i ako zamijenimo uloge varijabla. To znači da smo, umjesto od pretpostavke da je $\varphi'_y(x_0,y_0)\neq 0$ , u promatranoj točki mogli krenuti od pretpostavke da je $\varphi'_x(x_0,y_0)\neq 0$ . Zbog simetrije po $x$ i $y$ nužan uvjet (3.7) lokalnog uvjetnog ekstrema ostao bi isti, dok bi se dovoljan uvjet iskazao pomoću vrijednosti $\tilde{f}''(y_0)$ . Pri tome bi $\tilde{f}''(y)$ bilo definirano desnom stranom jednadžbe (3.6), pri čemu je $g'(x)$ zamijenjeno s $g'(y)=-\varphi'_y(x,y)/\varphi'_x(x,y)$ , a faktor $-f'_y(x,y)/\varphi'_y(x,y)$ zamijenjen faktorom $-f'_x(x,y)/\varphi'_x(x,y)$ .

Problem uvjetnog ekstrema

$$\begin{cases} z=f(x,y)\to \min,\max\\ \varphi(x,y)=0\end{cases}$$

možemo riješiti uvođenjem Lagrangeove funkcije (Lagrangeijana) $L(x,y,\lambda)$ triju nezavisnih varijabla $x,y$ i $\lambda$ :

$$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y),\qquad (x,y)\in \mathcal{D}, \quad \lambda\in\mathbb{R}.$$

Parametar $\lambda$ zove se Lagrangeov multiplikator. Očito je da se nužan uvjet (3.7) lokalnog uvjetnog ekstrema funkcije $f(x,y)$ uz uvjet $\varphi (x,y)=0$ u točki $(x_0,y_0)$ podudara s nužnim uvjetom običnog ekstrema Lagrangeove funkcije $L(x,y,\lambda)$ u točki $(x_0,y_0,\lambda_0)$ . Što se tiče dovoljnih uvjeta, neposrednim se računom može provjeriti da se vrijednost $\tilde{f}''(x_0)$ može izraziti kao

$$\tilde{f}''(x_0)=-\frac{1}{\varphi'_y(x_0,y_0)^2} \begin{vmatrix}... ..._0,y_0)&L''_{xy}(x_0,y_0,\lambda_0)& L''_{yy}(x_0,y_0,\lambda_0)\end{vmatrix}.$$

Naravno, s izmijenjenim ulogama varijabla $x$ i $y$ imali bi

$$\tilde{f}''(y_0)=-\frac{1}{\varphi'_x(x_0,y_0)^2} \begin{vmatrix}... ...0,y_0)&L''_{xy}(x_0,y_0,\lambda_0)& L''_{yy}(x_0,y_0,\lambda_0) \end{vmatrix}.$$

To nam daje sljedeću jednostavniju formulaciju dovoljnih uvjeta: neka trojka $(x_0,y_0,\lambda_0)$ zadovoljava uvjet (3.7) i neka je

$$\Delta = \begin{vmatrix}0&\varphi'_x(x_0,y_0)&\varphi'_y(x_0,y_0)... ...0,y_0)&L''_{xy}(x_0,y_0,\lambda_0)& L''_{yy}(x_0,y_0,\lambda_0) \end{vmatrix}.$$

Ako je $\Delta <0$ , onda funkcija $f$ ima lokalni uvjetni minimum u točki $(x_0,y_0)$ , a ako je $\Delta>0$ , onda funkcija $f$ ima lokalni uvjetni maksimum u točki $(x_0,y_0)$ .

Ako trojka $(x_0,y_0,\lambda_0)$ zadovoljava uvjet (3.7), možemo promatrati samo vrijednost

$$\delta = \begin{vmatrix}L''_{xx}(x_0,y_0,\lambda_0)&L''_{xy}(x_0,... ...a_0)\\ L''_{xy}(x_0,y_0,\lambda_0)&L''_{yy}(x_0,y_0,\lambda_0) \end{vmatrix}.$$

Vrijedi sljedeće: ako je $\delta >0$ i $L''_{xx}(x_0,y_0,\lambda_0)>0$ , onda je $\Delta <0$ pa funkcija $f$ ima lokalni uvjetni minimum u točki $(x_0,y_0)$ , a ako je $\delta >0$ i $L''_{xx}(x_0,y_0,\lambda_0)<0$ , onda je $\Delta>0$ pa funkcija $f$ ima lokalni uvjetni maksimum u točki $(x_0,y_0)$ . Ako je $\delta\leq 0$ ne možemo ništa zaključiti, već moramo izračunati $\Delta$ .

Nalaženje uvjetnog ekstrema ilustrirat ćemo s tri primjera.

Primjer 3.22   Neka je zadan problem uvjetnog ekstrema

$$\begin{cases} z=xy\to \min,\max\\ x^2+y^2-2=0 .\end{cases}$$

Pridružena Lagrangeova funkcija je

$$L(x,y,\lambda)=xy+\lambda(x^2+y^2-2)$$

pa je nužan uvjet ekstrema

$$L'_x =y+2\lambda x=0$$

$$L'_y =x+2\lambda y=0$$

$$L'_\lambda =x^2+y^2-2=0.$$

Iz prve dvije jednadžbe dobivamo

$$\lambda=-\frac{y}{2x}=-\frac{x}{2y}$$

odakle slijedi

$$y^2=x^2\quad\Rightarrow\qquad y=\pm x.$$

Uvrštavanje u treću jednadžbu daje

$$x^2+(\pm x)^2-2=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.$$

Zaključujemo da točno četiri točke zadovoljavaju nužan uvjet ekstrema:

$$T_1 =(-1,1),\quad \lambda_1=\frac{1}{2},$$

$$T_2 =(1,-1),\quad \lambda_2=\frac{1}{2},$$

$$T_3 =(-1,-1),\quad \lambda_3=-\frac{1}{2},$$

$$T_4 =(1,1),\quad \lambda_4=-\frac{1}{2}.$$

Kako je

$$\delta= \begin{vmatrix}L''_{xx}&L''_{xy} L''_{xy}&L''_{yy}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2\lambda&1 1&2\lambda\end{vmatrix}=4\lambda^2-1,$$

uvrštavanjem odgovarajućih vrijednosti $\lambda$ za sve četiri točke dobivamo $\delta=0$ pa moramo računati

$$\Delta= \begin{vmatrix}0&\varphi'_x&\varphi'_y \varphi'_x&L''_{... ...vmatrix}= \begin{vmatrix}0&2x&2y 2x&2\lambda&1 2y&1&2\lambda\end{vmatrix}.$$

Uvrštavanjem točaka dobivamo sljedeće: u točkama $T_1$ i $T_2$ je $\Delta=-16<0$ , a u točkama $T_3$ i $T_4$ je $\Delta=16>0$ . Zaključujemo da funkcija $z=xy$ ima u točkama $T_1$ i $T_2$ lokalni uvjetni minimum uz uvjet $x^2+y^2-2=0$ , a u točkama $T_3$ i $T_4$ lokalni uvjetni maksimum (vidi sliku 3.37).

Slika 3.37: Vezani ekstremi

Primjer 3.23   Za problem vezanog ekstrema

$$\begin{cases} z=x^2+y^2\to \min,\max\\ x+y-2=0\end{cases}$$

imamo Lagrangeovu funkciju

$$L(x,y,\lambda)=x^2+y^2+\lambda(x+y-2).$$

Nužan uvjet ekstrema glasi

$$L'_x =2x+\lambda =0$$

$$L'_y =2y+\lambda =0$$

$$L'_\lambda =x+y-2=0.$$

Iz prve dvije jednadžbe dobivamo

$$\lambda=-2x=-2y \quad \Rightarrow \quad y=x,$$

pa uvrštavanjem u treću jednadžbu dobijamo

$$x+x-2=0\quad\Rightarrow\quad x=1.$$

Zaključujemo da nužan uvjet zadovoljava samo točka

$$T_0=(1,1),\quad \lambda_0=-2.$$

Kako je

$$\delta= \begin{vmatrix}L''_{xx}&L''_{xy} L''_{xy}&L''_{yy}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2&0 0&2\end{vmatrix}=4,$$

vidimo da u točki $T_0$ vrijedi $L''_{xx}(1,1,-2)=2>0$ i $\delta=4>0$ . Stoga ne moramo računati vrijednost $\Delta$ , već smijemo zaključiti da funkcija $z=x^2+y^2$ u točki $T_0$ ima lokalni uvjetni minimum uz uvjet $x+y-2=0$ (vidi sliku 3.38).

Slika 3.38: Lokalni vezani minimum

Primjer 3.24   Problemu uvjetnog ekstrema

$$\begin{cases} z=xy\to \min,\max\\ y-x=0\end{cases}$$

pridružena je Lagrangeova funkcija

$$L(x,y,\lambda)=xy+\lambda(y-x)$$

pa nužan uvjet ekstrema glasi

$$L'_x =y-\lambda =0$$

$$L'_y =x+\lambda =0$$

$$L'_\lambda =y-x=0.$$

Očigledno je da su gornje jednadžbe zadovoljene samo u točki

$$T_0=(0,0),\quad \lambda_0=0.$$

Također imamo

$$\delta= \begin{vmatrix}L''_{xx}&L''_{xy} L''_{xy}&L''_{yy}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}0&1 1&0\end{vmatrix}=-1$$

što znači da u točki $T_0$ vrijedi $\delta=-1<0$ pa moramo računati vrijednost $\Delta$ . Vrijedi

$$\Delta= \begin{vmatrix}0&\varphi'_x&\varphi'_y \varphi'_x&L''_{... ...L''_{yy} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}0&-1&1 -1&0&1 1&1&0\end{vmatrix}=-2$$

pa je $\Delta=-2<0$ i u točki $T_0$ . Zaključujemo da funkcija $z=xy$ u točki $T_0$ ima lokalni uvjetni minimum uz uvjet $y-x=0$ (vidi sliku 3.39).

Slika 3.39: Lokalni uvjetni minimum

Implicitno zadane funkcije     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     VIŠESTRUKI INTEGRALI