×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Definicija     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Neprekidnost

Limes

U ovom poglavlju definirat ćemo limes funkcije više varijabli i dati osnovna svojstva limesa.

Definicija 3.4   Neka su $T_1=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ i $T_2=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ dvije točke iz $\mathbb{R}^n$ . Njihovu udaljenost definiramo kao

$$d(T_1,T_2)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}.$$

Skup

$$K(T,\delta)=\{S\in\mathbb{R}^n\mid d(T,S)<\delta\}$$

nazivamo otvorena kugla radijusa $\delta$ oko točke $T$ ili $\delta$ -okolina točke $T$ .

Napomena 3.2   Gornja formula za udaljenost je direktno poopćenje formula za udaljenost u $\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}^2$ i $\mathbb{R}^3$ ). Za $n=1$ skup $K(T,\delta)$ je otvoreni interval oko točke $T$ , za $n=2$ to je krug oko točke $T$ (bez oboda) radijusa $\delta$ , a za $n=3$ to je kugla oko točke $T$ (bez plašta) radijusa $\delta$ (vidi sliku 3.10).

Slika 3.10: Otvorene kugle

Definicija 3.5   Neka su zadane funkcija $f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ i točka $T_0\in \mathcal{D}$ takva da za svaku $\delta$ -okolinu od $T_0$ vrijedi

$$K(T_0,\delta)\cap \mathcal{D}\setminus\{T_0\}\neq \emptyset.$$

Kažemo da je $a\in\mathbb{R}$ granična vrijednost ili limes funkcije $f$ u točki $T_0$ ako

$$(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0) T\in K(T_0,\delta)\setminus\{T_0\} \Rightarrow \vert f(T)-a\vert<\varepsilon.$$

Pišemo

$$\lim_{T\to T_0} f(T)=a.$$

Primjer 3.4   Pokažimo da je

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=0.$$

Zbog $x^2+y^2\geq 2\vert xy\vert$ imamo (vidi sliku 3.22)

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left\vert\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right\vert\leq... ...x^2y}{2xy}\right\vert= \lim_{(x,y)\to(0,0)}\left\vert\frac{x}{2}\right\vert=0.$$

Određivanje limesa funkcije više varijabla teže je nego određivanje limesa funkcije jedne varijable jer se točka $T$ može približavati točki $T_0$ po neprebrojivo mnogo različitih putova a limes po svim tim putovima mora biti isti.

Teorem 3.1   Sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:

i.

$$\lim_{T\to T_0} f(T)=a$$ ,

ii.

za svaki niz točaka $\{T_n\}\in\mathcal{D}\setminus\{T_0\}, n\in \mathbb{N}$ , koji konvergira prema točki $T_0$ , pripadajući niz funkcijskih vrijednosti $\{f(T_n)\}$ konvergira prema broju $a$ .

Gornji teorem nepogodan je za primjenu u slučaju kada moramo pokazati da neki limes postoji (potrebno je provjeriti beskonačno mnogo različitih nizova). Češće ga koristimo u slučaju kad želimo pokazati da neki limes ne postoji (dovoljno je pronaći jedan ili dva niza koji upućuju na nepostojanje limesa).

Primjer 3.5   Pokažimo da funkcija

$$f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$$

nema limes u točki $(0,0)$ . Nizovi točaka $\{(1/n,1/n)\}$ i $\{(1/n,0)\}$ konvergiraju prema točki $(0,0)$ , dok za pripadajuće nizove funkcijskih vrijednosti vrijedi

$$f(1/n,1/n) =\frac{(1/n)^2-(1/n)^2}{(1/n)^2+(1/n)^2}\to 0,$$

$$f(1/n,0) =\frac{(1/n)^2-0}{(1/n)^2+0}\to 1.$$

Koristeći teorem 3.1 zaključujemo da $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$$ ne postoji (vidi sliku 3.23).

Citirajmo ovdje i teorem o uzastopnim limesima za funkciju dviju varijabla:

Teorem 3.2   Neka je

$$L=\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y).$$

Ako postoje uzastopni limesi

$$L_1=\lim_{x\to x_0}\big(\lim_{y\to y_0}f(x,y)\big)$$    i $$\quad L_2=\lim_{y\to y_0}\big(\lim_{x\to x_0}f(x,y)\big),$$

onda je $L_1=L=L_2$ .

Jasno je da obratna tvrdnja od ove u gornjem teoremu ne vrijedi, odnosno postojanje i jednakost uzastopnih limesa $L_1$ i $L_2$ u točki $(x_0,y_0)$ znači samo postojanje granične vrijednosti za dva od beskonačno mnogo putova približavanja točki $(x_0,y_0)$ , što ne osigurava postojanje limesa $L$ . Međutim, postojanje uzastopnih limesa $L_1$ i $L_2$ koji su različiti tj. $L_1 \neq L_2$ sigurno povlači nepostojanje limesa $L$ .

Primjer 3.6  

a)

Za funkciju iz primjera 3.4 vrijedi

$$\lim_{x\to 0}\left(\lim_{y\to 0}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right) =\lim_{x\to 0}0=0,$$

$$\lim_{y\to 0}\left(\lim_{x\to 0}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right) =\lim_{y\to 0}0=0.$$

b)

Za funkciju iz primjera 3.5 vrijedi

$$\lim_{x\to 0}\left(\lim_{y\to 0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right) = \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2}=1,$$

$$\lim_{y\to 0}\left(\lim_{x\to 0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right) = \lim_{y\to 0}\frac{-y^2}{y^2}=-1.$$

Definicija     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Neprekidnost