×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Newton-Leibnitzova formula     ODREĐENI INTEGRAL     Teoremi o određenom integralu

Supstitucija i parcijalna integracija

Određeni integral možemo riješiti tako da prvo riješimo pripadni neodređeni integral, a potom uvrstimo granice prema Newton-Leibnitzovoj formuli. Promotrimo integral

$$I=\int\limits _4^9 \frac{ dx}{\sqrt{x}-1}.$$

Prvo pomoću supstitucije riješimo neodređeni integral:

$$\int\frac{ dx}{\sqrt{x}-1} =\bigg\{ \begin{aligned}x&=t^2 dx&=2 t dt \end{aligned} \bigg\} =\int \frac{2 t dt}{t-1}=2 t+2\ln\vert t-1\vert$$

$$= 2 \sqrt{x}+2\ln \vert\sqrt{x}-1\vert.$$

Primijetimo da je supstitucija dobro definirana jer je $x\geq 0$ . Također primijetimo da kod rješavanja neodređenog integrala ne treba pisati konstantu integracije $C$ , jer nam ona ne treba u Newton-Leibnitzovoj formuli. Dakle,

$$I=2 \sqrt{x}+2\ln \vert\sqrt{x}-1\vert \bigg\vert _4^9 =2 (3+\ln 2)-2 (2+\ln 1)=2+2\ln 2.$$

Prilikom zamjene varijabli možemo izvršiti i odgovarajuću zamjenu granica. U tom slučaju određeni integral rješavamo na sljedeći način:

$$\int\limits _4^9\frac{ dx}{\sqrt{x}-1} =\bigg\{ \begin{aligned}x&=t^2 dx&=2 t dt\quad \end{alig... ... \hline t & 2 & 3 \end{array} \bigg\} =\int\limits _2^3 \frac{2 t dt}{t-1}$$

$$= 2\int\limits _2^3 dt+ 2\int\limits _2^3 \frac{ dt}{t-1} = 2 t \bigg\vert _2^3 + 2\ln\vert t-1\vert \bigg\vert _2^3$$

$$=2(3-2)+2(\ln 2-\ln 1)=2+2\ln 2.$$

Kod zamjene granica trebamo uvijek paziti da ona bude dobro definirana. Tako u ovom primjeru supstitucija $x=t^2$ zapravo znači $t=\sqrt{x}$ , pa smo prema tome i odabrali nove granice. Posebno oprezan treba biti kod zamjene granica u slučaju periodičkih (trigonometrijskih) funkcija.

Formula za parcijalnu integraciju također vrijedi u određenom integralu:

$$\int\limits _1^2 \ln x dx = \left\{ \begin{aligned}u&=\ln x, \quad du=\displaystyle \fra... ...igned} \right\} = x\ln x \bigg\vert _1^2-\int\limits _1^2 x \frac{1}{x} dx$$

$$= 2\ln 2-1\ln 1 - x\bigg\vert _1^2 = 2\ln 2-1.$$

Newton-Leibnitzova formula     ODREĐENI INTEGRAL     Teoremi o određenom integralu