Racionalne funkcije hiperbolnih funkcija

Integrali ove klase funkcija rješavaju se slično kao i integrali racionalnih funkcija trigonometrijskih funkcija iz prethodnog poglavlja. Integral racionalne funkcije hiperbolnih funkcija oblika

$\displaystyle \int \mathcal{R} (\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x,\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x) dx$

rješavamo koristeći univerzalnu hiperbolnu supstituciju,

$\displaystyle t=\mathop{\mathrm{th}}\nolimits \frac{x}{2}$

(1.6)

za koju vrijedi

$\displaystyle x=2\mathop{\mathrm{arth}}\nolimits t,\qquad dx=\frac{2}{1-t^2} dt, \qquad t\in(-1,1).$

Osnovne veze između hiperbolnih funkcija (vidi

M1, poglavlje 4.6.9) daju

$\displaystyle \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x$	$\displaystyle =2\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits \frac{x}{2}\mathop{\mathrm{ch}}\n... ...ch}}\nolimits ^2 \frac{x}{2}=2 t \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2 \frac{x}{2},$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2 \frac{x}{2}\bigg( 1-\frac{\math... ... \frac{x}{2}}\bigg) =\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2 \frac{x}{2}\cdot (1-t^2),$

pa imamo

$\displaystyle \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x$	$\displaystyle =\frac{2 t}{1-t^2},$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2\frac{x}{2}+\mathop{\mathrm{sh}}... ...eft(1+\mathop{\mathrm{th}}\nolimits ^2\frac{x}{2}\right) = \frac{1+t^2}{1-t^2},$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{th}}\nolimits x$	$\displaystyle =\frac{2 t}{1+t^2}.$

Kao i kod trigonometrijskih funkcija i ovdje su u nekim slučajevima moguće jednostavnije supstitucije. Integral oblika

$\displaystyle \int \mathcal{R} (\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits ^2 x,\mathop{\mat... ...mits x, \mathop{\mathrm{th}}\nolimits x,\mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x) dx$

rješavamo pomoću supstitucije

$\displaystyle t=\mathop{\mathrm{th}}\nolimits x,$

pri čemu vrijedi

	$\displaystyle x= \mathop{\mathrm{arth}}\nolimits t$		$\displaystyle dx=\frac{1}{1-t^2} dt, \quad t\in(-1,1)\notag$
	$\displaystyle \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits ^2 x=\frac{t^2}{1-t^2},$		$\displaystyle \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2 x=\frac{1}{1-t^2},$
	$\displaystyle \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x = \frac{t}{1-t^2},$		$\displaystyle \mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x=\frac{1}{t}. \notag$

Također možemo koristiti i supstitucije

$\displaystyle \int \mathcal{R}(\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x)\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x dx$	$\displaystyle = \left\{ \begin{aligned}\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x&=t \ma... ...hrm{ch}}\nolimits x dx&= dt\end{aligned}\right\} =\int \mathcal{R}(t) dt,$
$\displaystyle \int \mathcal{R}(\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x)\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x dx$	$\displaystyle = \left\{ \begin{aligned}\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x&=t \ma... ...hrm{sh}}\nolimits x dx&= dt\end{aligned}\right\} =\int \mathcal{R}(t) dt.$

Zadatak 1.5 Izračunajte integrale

	$\displaystyle \int \frac{1+\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x}{(2+\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x)(3+\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x)} dx,$
	$\displaystyle \int \frac{ dx}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits ^2 x+2\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2 x+3\mathop{\mathrm{th}}\nolimits x}.$

Jednostavnije supstitucije NEODREĐENI INTEGRAL Integriranje nekih iracionalnih funkcija