Cirkulacija

Primjer 2.5 Izračunajmo cirkulaciju ravninskog vektorskog polja $\mathbf{w}=x\, \mathbf{i} + x\, y\, \mathbf{j}$ po

Kružnica iz točke a) prikazana je na slici 2.6.

**Slika 2.6:** Pozitivno orijentirana kružnica
$\begin{figure}\centering \epsfig{file=slike/pkr.eps, width=6cm} \end{figure}$

Jedna parametrizacija kružnice glasi

$\displaystyle \overrightarrow{C}\ \ldots \ \left\{\begin{array}{l} x=a\cos t, \\ y=a\sin t, \end{array}\right. \qquad t\in[0,2\,\pi]$

pa vrijedi

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \, d\mathbf{r}$	$\displaystyle = \oint\limits_{\overrightarrow{C}} x\, dx+x\,y\, dy=\int\limits_0^{2\, \pi} (a\cos t\cdot a\, (-\sin t) + a^2\cos t\sin t \cdot a\cos t) \, dt$
	$\displaystyle =\int\limits_{-\pi}^{\pi} (-a^2\cos t \sin t + a^3\cos^2 t \sin t) \, dt= \dots = 0.$

Za kružnicu orjentiranu u negativnom smislu zbog promjene orijentacije vrijedi

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \, d\mathbf{r} = -\oint\limits_{\overleftarrow{C}} \mathbf{w} \, d\mathbf{r} = -0=0.$

Trokut iz točke b) prikazan je na slici 2.7.

**Slika 2.7:** Pozitivno orijentirani trokut
$\begin{figure}\centering \epsfig{file=slike/ptr.eps, width=8cm} \end{figure}$

Glatke dijelove krivulje $\overrightarrow{C}$ parametriziramo na sljedeći način:

	$\displaystyle \overrightarrow{C}_1\ \ldots \ y=0,\qquad x\in[0,2],$
	$\displaystyle \overrightarrow{C}_2\ \ldots \ y=-x+2,\qquad x\in[2,1] \textrm{ (u smislu pada parametra } t\textrm{)},$
	$\displaystyle \overrightarrow{C}_3\ \ldots \ y=x,\qquad x\in[1,0] \textrm{ (u smislu pada parametra } t\textrm{)}.$

Vrijedi

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \, d\mathbf{r}$	$\displaystyle =\oint\limits_{\overrightarrow{C}_1} \mathbf{w} \, d\mathbf{r} + ... ...} \, d\mathbf{r} +\oint\limits_{\overrightarrow{C}_3} \mathbf{w} \, d\mathbf{r}$
	$\displaystyle =\int\limits_0^2 (x+x\cdot 0\cdot 0)\, dx+\int\limits_2^1 (x+x\, (-x+2)\cdot(-1))\, dx$
	$\displaystyle \quad + \int\limits_1^0 (x+x\cdot x\cdot 1)\, dx$
	$\displaystyle =\displaystyle \frac{1}{3}.$