☰ matematika3

Krivuljni integral skalarnog polja KRIVULJNI INTEGRALI Cirkulacija

Krivuljni integral vektorskog polja

Definicija 2.2 Neka je $\mathbf{w}:D\to V_0$ vektorsko polje i $\overrightarrow{C}$ orijentirana glatka krivulja u području

$\displaystyle \mathbf{r}(t)=\varphi(t)\, \mathbf{i} + \psi(t)\, \mathbf{j} + \xi(t)\, \mathbf{k}, \qquad t\in[a,b].$

Ako je funkcija $\mathbf{w}(\varphi,\psi,\xi))\cdot \mathbf{r}'$ integrabilna na intervalu

, onda određeni integral

$\displaystyle \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r} = \... ...int\limits_a^b \mathbf{w}(\varphi(t),\psi(t),\xi(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt$

zovemo krivuljni integral vektorskog polja $\mathbf{w}$ (druge vrste) po glatkoj krivulji $\overrightarrow{C}$ od točke $A=\mathbf{r}(a)$ do točke $B=\mathbf{r}(b)$ .

Jednakosti u prethodnoj formuli slijede iz relacije

$\displaystyle d\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}'(t) \, dt= \vert\mathbf{r}'(t)\vert \, [\mathbf{r}'(t)]_0 \, dt= [\mathbf{r}'(t)]_0 \, ds.$

Krivuljni integral vektorskog polja se, dakle, računa po formuli

$\displaystyle \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r}$	$\displaystyle = \int\limits_a^b [\, w_x\,(\varphi(t),\psi(t),\xi(t)) \, \varphi'(t)$
	$\displaystyle \quad + w_y\,(\varphi(t),\psi(t),\xi(t)) \, \psi'(t)$
	$\displaystyle \quad + w_z\,(\varphi(t),\psi(t),\xi(t)) \, \xi'(t)\, ]\, dt.$

Krivuljni integral druge vrste po po djelovima glatkoj krivulji definiramo kao

$\displaystyle \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r}= \i... ...} + \cdots + \int\limits_{\overrightarrow{C}_k} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r},$

pri čemu svi djelovi krivulje $\overrightarrow{C}$ moraju biti suglasno orijentirani.

Krivuljni integral vektorskog polja možemo interpretirati kao rad sile $\mathbf{F}=\mathbf{w}$ uzduž puta $s=\overrightarrow{C}$ od točke do točke .

Vrijede sljedeće tvrdnje:

i)

krivuljni integral vektorskog polja ne ovisi o parametrizaciji krivulje, ali ovisi orijentaciji krivulje - kako u jednom smjeru energiju dobivamo, a u drugom je trošimo, vrijedi

$\displaystyle \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r} = - \int\limits_{\overleftarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r},$

ii)

krivuljni integral vektorskog polja je linearan, odnosno

$\displaystyle \int\limits_{\overrightarrow{C}} (\lambda \, \mathbf{w} +\mu\, \m... ...\mathbf{r} + \mu \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{u}\cdot d\mathbf{r}.$

Primjer 2.3 Krivuljni integral vektorskog polja

$\displaystyle \mathbf{w} = (y-z)\, \mathbf{i} + (z-x)\, \mathbf{j}+(x-y)\,\mathbf{k},$

po krivulji $\overrightarrow{C}$ zadanoj s

$\displaystyle \mathbf{r}(t)=2\, \cos t\, \mathbf{i} + 2\,\sin t\, \mathbf{j} + 3\, t\, \mathbf{k},\qquad t\in[0,2\, \pi],$

jednak je

$\displaystyle \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r}$	$\displaystyle =\int\limits_0^{2\, \pi} [\, (2\, \sin t -3\, t)(-2\, \sin t) + (3\, t -2\,\cos t)\, 2\, \cos t$
	$\displaystyle \quad + (2\, \cos t-2\, \sin t)(3)\, ] \, dt=\cdots=-20\, \pi.$

Uvedimo nove oznake,

$\displaystyle w_x=P,\quad w_y=Q, \quad w_z=R, \qquad P,Q,R:D\to \mathbb{R}, \quad D\subseteq \mathbb{R}^3.$

(2.1)

Uz ove oznake je

$\displaystyle \mathbf{w}= P\,\mathbf{i} + Q\, \mathbf{j}+R\, \mathbf{k}.$

Osim toga vrijedi

$\displaystyle \varphi'(t)\, dt$	$\displaystyle =\, dx,$
$\displaystyle \psi'(t)\, dt$	$\displaystyle =\, dy,$
$\displaystyle \xi'(t)\, dt$	$\displaystyle =\, dz,$

pa možemo pisati

$\displaystyle \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r} = \int\limits_{\overrightarrow{C}} P(x,y,z)\, dx+Q(x,y,z)\, dy+R(x,y,z)\, dz.$

Ukoliko s

$\displaystyle \omega\, (\mathbf{w}) = w_x\, dx+ w_y\, dy+w_z\, dz= P\, dx+Q\, dy+R\, dz$

označimo diferencijalnu formu pridruženu polju $\mathbf{w}$ , onda zapisujemo

$\displaystyle \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r} = \int\limits_{\overrightarrow{C}} \omega \,(\mathbf{w}).$

Ako je krivulja $\overrightarrow{C}$ zadana kao presjek dvaju ploha (vidi poglavlje 2.2), onda je

$\displaystyle \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r}$	$\displaystyle =\int\limits_{\overrightarrow{C}} P\, dx+Q\, dy+R\, dz$
	$\displaystyle =\int\limits_{\overrightarrow{C}} P(x,g(x),h(x))\, dx+ Q(x,g(x),h(x))\, g'(x)\, dx$
	$\displaystyle \quad + R(x,g(x),h(x))\, h'(x)\, dx.$

U slučaju ravninskog polja

$\displaystyle \mathbf{w}=w_x\, \mathbf{i} + w_y\, \mathbf{j} = P\, dx+Q\, dy$

i glatke krivulje $\overrightarrow{C}$ zadane s

$\displaystyle y=g(x),\qquad a\leq x\leq b,$

imamo

$\displaystyle \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r}$	$\displaystyle =\int\limits_{\overrightarrow{C}} P\, dx+Q\, dy$
	$\displaystyle =\int\limits_{\overrightarrow{C}} P(x,g(x))\, dx+ Q(x,g(x))\, g'(x)\, dx.$