×   HOME
SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULJNI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI
SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULNJI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI
NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika3
Cirkulacija     KRIVULJNI INTEGRALI     Greenova formula


Potencijal

Teorem 2.1   Krivuljni integral vektorskog polja $ \mathbf{w}:D\to V_0$ ne ovisi o putu integracije već samo o početnoj i krajnjoj točki ako i samo ako je $ \mathbf{w}$ potencijalno polje.

Dokaz.
Dokažimo jedan smjer teorema. Neka je $ \mathbf{w}$ potencijalno polje s potencijalom $ U$ , $ \mathbf{w} = -\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U$ . Uz parametrizaciju krivulje

$\displaystyle x(t)=\varphi(t),\quad y(t)=\psi(t),\quad z(t)=\xi(t),\qquad t\in[a,b], $

krivuljni integral vektorskog polja postaje integral totalnog diferencijala, odnosno vrijedi

$\displaystyle \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r}$ $\displaystyle = -\int\limits_{\overrightarrow{C}} \displaystyle \frac{\partial ... ...{\partial U}{\partial y}\, dy+ \displaystyle \frac{\partial U}{\partial z}\, dz$    
  $\displaystyle =-\int\limits_a^b \displaystyle \frac{\partial U}{\partial \varph... ...}\, \psi'(t)\, dt+ \displaystyle \frac{\partial U}{\partial \xi}\, \xi'(t)\, dt$    
  $\displaystyle =\int\limits_b^a d\, [\, U(\varphi(t),\psi(t),\xi(t))\, ]$    
  $\displaystyle =U(\varphi(a),\psi(a),\xi(a))- U(\varphi(b),\psi(b),\xi(b))$    
  $\displaystyle =U(A) -U(B)$    

pri čemu su $ A=(\varphi(a),\psi(a),\xi(a))$ i $ B=(\varphi(b),\psi(b),\xi(b))$ početna i krajnja točka zadane krivulje.
Q.E.D.

Iz teorema 2.1 zaključujemo da za cirkulaciju potencijalnog polja uvijek vrijedi

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r} =U(A) - U(A) = 0. $

No, vrijedi i obrat koji nam daje još jednu karakterizaciju potencijalnih polja (pored one iz teorema 1.7): na konveksnom skupu $ D$ vrijedi

$\displaystyle \mathbf{w} = -\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f \quad \Longleftri... ...arrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r}=0, \quad \forall \, \overrightarrow{C}. $

Opišimo kako se nalazi potencijal potencijalnog polja. Iz dokaza teorema 2.1 vidimo da je potencijal polja

$\displaystyle \mathbf{w}=w_x\, \mathbf{i} + w_y\, \mathbf{j} + w_z\, \mathbf{k}... ...rtial U}{\partial y}\, \mathbf{j} -\frac{\partial U}{\partial z}\, \mathbf{k} $

integral totalnog diferencijala,

$\displaystyle U(x,y,z)-U(x_0,y_0,z_0)=-\int\limits_{\overrightarrow{C}} \left( ... ...\frac{\partial U}{\partial y}\, dy+ \frac{\partial U}{\partial z}\, dz\right) $

za svaku krivulju $ \overrightarrow{C}=\overrightarrow{T_0T}$ između točaka $ T_0=(x_0,y_0,z_0)$ i $ T=(x,y,z)$ . Za krivulju $ \overrightarrow{C}$ biramo put uzduž koordinatnih osiju koji je najlakši za integraciju (vidi sliku 2.8) što daje

$\displaystyle U(x,y,z)=-\int\limits_{x_0}^x w_x(t,y_0,z_0)\, dt- \int\limits_{y_0}^y w_y(x,u,z_0)\, du- \int\limits_{z_0}^z w_y(x,y,v)\, dv+ C. $

U prethodnoj formuli smo iskoristili činjenicu da je potencijal $ U$ zadan do n konstantu jer je $ \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits C=\mathbf{0}$ za svako konstantno polje $ C$ . u praktičnom računanju se za točku $ T_0$ najčešće uzima ishodište. Uočite formule za računanje potencijala s formulom za računanje antiderivacije $ F(x)=\int\limits_0^x f(t)\, dt$ iz [M2, teorem 2.3].

Slika 2.8: Put integracije udzuduž koordinatnih osiju
\begin{figure}\centering \epsfig{file=slike/put.eps, width=8cm} \end{figure}

Primjer 2.6   Izračunajmo $ \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r}$ gdje je

$\displaystyle \mathbf{w}=(3\, x^2y\, z+y+5)\, \mathbf{i} + (x^3z+x-z)\,\mathbf{j}+(x^3y-y-7)\, \mathbf{k}, $

i
a)
$ \overrightarrow{C}$ je luk bilo koje parabole od ishodišta do točke $ T=(1,1,1)$ , ili
b)
$ \overrightarrow{C}$ je kružnica $ x^2+y^2=a^2$ , $ z=b$ .
Polje $ \mathbf{w}$ je bezvrtložno jer je

$\displaystyle \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w}=\begin{vmatrix}\mathbf{... ...playstyle \frac{\partial}{\partial x}\\ w_x&w_y&w_z \end{vmatrix}=\mathbf{0}. $

Kako je polje $ \mathbf{w}$ bezvrtložno na konveksnom skupu $ \mathbb{R}^3$ , to je po teoremu 1.7 polje $ \mathbf{w}$ također i potencijalno, a po teoremu 2.1 integral polja $ \mathbf{w}$ ne ovisi o putu integracije. Potencijal polja $ \mathbf{w}$ jednak je

$\displaystyle U(x,y,z)$ $\displaystyle =-\int\limits_0^x (3\, t^2\cdot 0\cdot 0+0+5)\, dt-\int\limits_0^y (x^3\cdot 0+x-0)\, du$    
  $\displaystyle \quad -\int\limits_0^z(x^3y-y-7)\, dv$    
  $\displaystyle =-5\, x-x\,y-x^3y\,z +y\,z+7\, z$    

pa je

$\displaystyle \int\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r} =U(0,0,0)-U(1,1,1) = -1. $

U zadatku b) radi se o cirkulaciji potencijalnog polja pa je $ \oint\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \cdot d\mathbf{r}=0$ bez obzira na parametre $ a$ i $ b$ i orijentaciju krivulje.

Cirkulacija     KRIVULJNI INTEGRALI     Greenova formula