×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Integral ovisan o parametru     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Zadaci za vježbu

Ekstremi funkcionala

Odredite funkciju $y(x)$ za koju funkcional

$$J(y)=\displaystyle \int\limits_0^1 (y'^2+3y+2x) dx$$

postiže ekstremnu vrijednost uz uvjete $y(0)=0$ i $y(1)=1$ te odredite radi li se o lokalnom minimumu ili maksimumu i koja je to vrijednost.

Rješenje.

Uz oznaku $F(x,y,y')=y'^2+3y+2x$ vrijedi $F'_y=3$ i $F'_{y'}=2y'$ . Prema [M2, poglavlje 4.7], funkcija $y$ zadovoljava Euler-Lagrangeovu jednadžbu [M2, (4.6)]:

$$F'_y-\frac{d}{dx}\left(F'_{y'}\right)=3-\frac{d}{dx}(2y')=0.$$

Dakle, $y$ zadovoljava diferencijalnu jednažbu $y''=\displaystyle \frac{3}{2}$ pa je $y'(x)=\displaystyle \frac{3}{2} x+C_1$ i $y(x)=\displaystyle \frac{3}{4} x^2+C_1 x+C_2$ . Uvrštavanje rubnih uvjeta daje $C_2=0$ i $C_1=\displaystyle \frac{1}{4}$ pa funkcional poprima ekstremnu vrijednost za funkciju

$$y(x)=\frac{3}{4} x^2+\frac{1}{4} x.$$

Vrijedi $F''_{y'y'}=2>0$ pa se radi o (lokalnom) minimumu, a uvrštavanjem u zadani funcional slijedi da ta vrijednost iznosi $$\frac{53}{16}$$ .