×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Metoda parcijalne integracije     NEODREĐENI INTEGRAL     Integriranje racionalnih funkcija

Rekurzivne formule

Nađite rekurzivnu formulu za integral: $$I_{n}=\int \left( a^{2}-x^{2}\right) ^{n} dx$$ , $$n\in \mathbb{N}$$ .

Rješenje. Za $$n=1$$ vrijedi

$$I_{1}=\int \left( a^{2}-x^{2}\right) dx=a^{2}x-\frac{x^{3}}{3}+C=x\left( a^{2}-\frac{x^{2}}{3}\right) +C.$$

Za $$n\geq 2$$ vrijedi

$$I_{n} =\int \left( a^{2}-x^{2}\right) ^{n} dx=\left\{ \begin{array}{cc... ...,dx du=-2nx\left( a^{2}-x^{2}\right) ^{n-1} dx & v=x \end{array} \right\}$$

$$=x\left( a^{2}-x^{2}\right) ^{n}-\int -2nx^{2}\left( a^{2}-x^{2}\right) ^{n-1} dx$$

$$=x\left( a^{2}-x^{2}\right) ^{n}+2n\int \left[ -\left( a^{2}-x^{2}\right) \right] ^{n} dx+2n\int a^{2}\left( a^{2}-x^{2}\right) ^{n-1} dx$$

$$=x\left( a^{2}-x^{2}\right) ^{n}-2nI_{n}+2na^{2}I_{n-1}.$$

Izjednačavanjem lijeve i desne strane dobivamo traženu rekurzivnu formulu

$$I_{n} =x\left( a^{2}-x^{2}\right) ^{n}-2nI_{n}+2na^{2}I_{n-1}$$

$$I_{n}\left( 1+2n\right) =x\left( a^{2}-x^{2}\right) ^{n}+2na^{2}I_{n-1}$$

$$I_{n} =\frac{x\left( a^{2}-x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n+1\right) }+\frac{ 2na^{2}}{\left( 2n+1\right) }I_{n-1}.$$