×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Cilindrične koordinate u trostrukom     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Volumen tijela


Sferne koordinate u trostrukom integralu

Izračunajte integral

$\displaystyle I=\iiint\limits_{V}\sqrt{
 1+\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}  dx  dy  dz$    

ako je $ \displaystyle V\ldots x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1$ .

Rješenje.

Područje integracije $ V$ integrala prikazano je na Slici 4.13.

Slika: Područje integracije $ \displaystyle V\ldots x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1$ .
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=sl30_trostruki_integral.eps, width=5cm}
\end{figure}

Prijeđimo na sferne koordinate [*][M2, poglavlje 4.3.1]:

$\displaystyle x$ $\displaystyle =r\sin\theta \cos \varphi$   ,    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =r\sin\theta \sin \varphi$   ,    
$\displaystyle z$ $\displaystyle =r\cos\theta$   .    

Jakobijan je $ \displaystyle J=r^2\sin\theta $ . Integriramo po cijeloj kugli, pa za nove varijable vrijedi

$\displaystyle \varphi \in \left[ 0,2\pi \right]$   ,$\displaystyle \quad\Theta \in \left[ 0,\pi \right]$   ,$\displaystyle \quad r\in\left[ 0,1\right]$   .    

i imamo

$\displaystyle I$ $\displaystyle =
 \int\limits_{0}^{2\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{\pi
 } \sin \Theta  d\Theta \int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+r^{3}}r^{2} dr$    
  $\displaystyle =\left\{ 
 \begin{array}{l}
 1+r^{3}=t  
 r^{2} dr=\frac{1}{3}...
...}
 $r$ & $0$ & $1$  \hline
 $t$ & $1$ & $2$
 \end{tabular}
   \right\}$    
  $\displaystyle =\int\limits_{0}^{2\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{\pi } \sin \Theta
  d\Theta \int\limits_{1}^{2}\frac{1}{3}t^{\frac{1}{2}} dt$    
  $\displaystyle =\varphi \underset{0}{\overset{2\pi }{\bigg\vert}\cdot }\left( -\...
...ac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right) \underset{1}{\overset{2}{
 \bigg\vert}}$    
  $\displaystyle =\frac{2}{9} 2\pi \left( - \cos \pi +\cos 0\right) \left( 2\sqrt{2}
 -1\right)$    
  $\displaystyle =\frac{8\pi }{9}\left( 2\sqrt{2}-1\right)$   .    


Cilindrične koordinate u trostrukom     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Volumen tijela