×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Neposredno integriranje u dvostrukom     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Eliptične koordinate u dvostrukom

Polarne koordinate u dvostrukom integralu

Izračunajte $$I=\iint\limits_S\sqrt{4-x^2-y^2} dx dy$$ prijelazom na polarne koordinate ako je područje $S$ omeđeno krivuljama $$y=x$$ , $$y=\sqrt 3x$$ i $x^2+y^2=4$ .

Rješenje.

Područje integracije $S$ prikazano je na slici 4.4.

Slika: Područje integracije $S=\{(r,\varphi)\in\mathbb{R}^2:\frac{\pi}{4}\le \varphi\le \frac{\pi}{3},\quad 0\le r\le 2\}$ .

Uvedimo supstituciju

$$x=r\cos\varphi \quad\quad y=r\sin\varphi$$ (4.1)

Prema [M2, poglavlje 4.2.2], element površine u polarnim koordinatama jednak je

$$r dr d\varphi$$

odnosno, pri prijelazu na polarne koordinate Jakobijan [M2, teorem 4.2] za $n=2$ (vidi [M2, primjer 4.11]) je

$$J=r$$

Da bismo područje $S$ opisali u polarnim koordinatama moramo pronaći odgovarajuću jednadžbu zadane kružnice. Uvrstimo li supstituciju (4.1) u jednadžbu kružnice, dobijemo

$$x^2+y^2=4\quad\Longrightarrow \quad r^2\cos^\varphi +r^2\sin^2 \varphi=4\quad\Longrightarrow \quad r=2$$

pa je područje $S$ kružni isječak dan s

$$S=\{(r,\varphi)\in\mathbb{R}^2:\frac{\pi}{4}\le \varphi\le \frac{\pi}{3},\quad 0\le r\le 2\}$$

Integral u novim, polarnim koordinatama glasi

$$I =\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} d\varphi\int\limits_0^2\sqrt{4-r^2\cos^2\varphi-r^2\sin^2\varphi} r dr$$

$$=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} d\varphi\int\limits_0^2\sqrt{4-r^2} r dr$$

$$=\left\{ \begin{array}{l} 4-r^2=t^2,\quad t\ge 0 -2r dr=2... ...rt l} $r$ & $0$ & $2$ \hline $t$ & $2$ & $0$ \end{tabular} \right\}$$

$$=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} d\varphi \int\li... ...d\varphi \left( -\frac{t^{3}}{3}\right) \underset{2}{\overset{0}{ \bigg\vert}}$$

$$=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} \left( 0+\frac{8}... ...{8}{3}\varphi \underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{ \frac{\pi }{3}}{\bigg\vert}}$$

$$=\frac{8}{3}\left( \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right) =\frac{8}{3 }\frac{\pi }{12}=\frac{2\pi }{9}.$$

Neposredno integriranje u dvostrukom     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Eliptične koordinate u dvostrukom