☰ matematika2

Lokalni ekstremi funkcije dviju FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA Primjena ekstrema, 2. primjer

Primjena ekstrema, 1. primjer

U ravnini odredite točku za koju je zbroj kvadrata udaljenosti od pravaca , i najmanji.

Rješenje.

Neka je udaljenost točke od pravca , udaljenost točke od pravca i udaljenost točke od pravca . Tada vrijedi

$\displaystyle d_1=x, \quad d_2=\frac{\vert x+2y-16\vert }{\sqrt 5}, \quad d_3=y.$

Funkcija kojoj trebamo izračunati ekstrem i koja zadaje zbroj kvadrata udaljenosti točke

od zadanih pravaca ima oblik

$\displaystyle z(x,y)=x^2+y^2+\frac{(x+2y-16)^2}{5}.$

Nakon kvadriranja i stavljanja na zajednički nazivnik funkciju

možemo zapisati na sljedeći način

$\displaystyle z(x,y)=\frac{1}{5}(6x^2+9y^2+4xy-32x-64y+256).$

Tražimo ekstreme funkcije

odnosno najprije njene stacionarne točke. U tu svrhu izračunajmo parcijalne derivacije funkcije

po varijablama

. Vrijedi

$\displaystyle z_x$	$\displaystyle = \frac{1}{5}(12x+4y-32),$
$\displaystyle z_y$	$\displaystyle = \frac{1}{5}(18y+4x-64).$

Rješavanjem sustava jednadžbi

$\displaystyle \frac{1}{5}(12x+4y-32)$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \frac{1}{5}(18y+4x-64)$	$\displaystyle =0$

dobivamo stacionarnu točku $\displaystyle S\left(\frac{8}{5},\frac{16}{5}\right)$ .

Budući da parcijalne derivacije drugog reda funkcije u točki imaju vrijednosti $\displaystyle z_{xx}=\frac{12}{5}$ , $\displaystyle z_{xy}=\frac{4}{5}$ i $\displaystyle z_{yy}=\frac{18}{5}$ , slijedi

$\displaystyle \Delta _{2}\left( \frac{8}{5},\frac{16}{5}\right) =% \begin{vmat... ...rac{12}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{18}{5}% \end{vmatrix}% =8>0$ i $\displaystyle \Delta _1 \left( \frac{8}{5},\frac{16}{5}\right)=\frac{12}{5}>0,$

pa je tražena točka minimuma funkcije

tj. točka ravnine

, koja ispunjava uvjete zadatka, točka $\displaystyle T\left(\frac{8}{5},\frac{16}{5}\right)$ .

Lokalni ekstremi funkcije dviju FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA Primjena ekstrema, 2. primjer