Primjer primjene tangencijalnih ravnina

Pokažite da se stožac $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$ i sfera $\displaystyle x^2+y^2+\left(z-\frac{b^2+c^2}{c}\right)^2=\frac{b^2}{c^2}(b^2+c^2)$ dodiruju u točkama $\displaystyle (0,\pm b,c)$ .

Rješenje.

Ono što trebamo pokazati jest da u točkama $\displaystyle (0,\pm b,c)$ stožac i sfera imaju istu tangencijalnu ravninu! Odredit ćemo tangencijalne ravnine stošca i sfere u točki $\displaystyle (0,b,c)$ . Dokaz za točku $\displaystyle (0,-b,c)$ je potpuno analogan.
Jednadžba tangencijalne ravnine na plohu zadanu implicitno s glasi

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}\left( x_0,y_0, z_0\right)\left( x-x... ...ht)+\frac{\partial F}{\partial z}\left( x_0,y_0,z_0\right)\left( z-z_0\right)=0$ .

Zapišimo jednažbe stošca i sfere na sljedeći način

$\displaystyle F_1(x,y,z)$	$\displaystyle = \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0,$
$\displaystyle F_2(x,y,z)$	$\displaystyle = x^2+y^2+\left(z-\frac{b^2+c^2}{c}\right)^2-\frac{b^2}{c^2}(b^2+c^2)=0.$

Neka su $\displaystyle T_1$ i $\displaystyle T_2$ tangencijalne ravnine na stožac i sferu u točki $\displaystyle (0,b,c)$ . Tada, primjenom formule za jednadžbu tangencijalne ravnine implicitno zadane plohe, dobivamo da za $\displaystyle T_1$ vrijedi

$\displaystyle \frac{2b}{b^2}(y-b)-\frac{2c}{c^2}(z-c)$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \frac{y}{b}-1-\frac{z}{c}+1$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \frac{y}{b}-\frac{z}{c}$	$\displaystyle =0.$

Za $\displaystyle T_2$ imamo

$\displaystyle 2b(y-b)+2\left(c-\frac{b^2+c^2}{c}\right)(z-c)$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle by-\frac{b^2}{c}z$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \frac{y}{b}-\frac{z}{c}$	$\displaystyle =0.$

Dakle, pokazali smo da stožac i sfera u točki $\displaystyle (0,b,c)$ imaju zajedničku tangencijalnu ravninu tj. da se dodiruju u toj točki (slika 3.7).

**Slika:** Stožac $\displaystyle x^2+y^2=z^2$ i sfera $\displaystyle x^2+y^2+\left(z-2\right)^2=2$ (dodiruju se u točkama $(0,\pm 1,\pm 1)$ )
$\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl7_tangencijalna.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}$

Tangencijalna ravnina i normala FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA Lokalni ekstremi funkcije dviju