×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Parcijalna derivacija prvog reda


Područje definicije funkcije

Odredite područje definicije funkcija:

a)
$ \displaystyle z(x,y)=1+\sqrt {-(x-y)^2}$ ,
b)
$ \displaystyle z(x,y)=\frac{1}{\sqrt {4-x^2-y^2}}$ ,
c)
$ \displaystyle z(x,y)=\ln (x+y)$ ,
d)
$ \displaystyle z(x,y)=\frac{\sqrt {y^2-4x}}{\ln (x^2+y^2-1)}$ ,
e)
$ \displaystyle z(x,y)=\arcsin \frac{x}{2}+\sqrt {xy}$ .

Rješenje.

a)
Da bi zadana funkcija bila dobro definirana mora vrijediti

$\displaystyle -(x-y)^2 \geq 0$,    

to jest

$\displaystyle (x-y)^2 \leq 0$.    

To je ispunjeno samo kada je $ \displaystyle x-y=0$ , odnosno $ \displaystyle y=x$ , pa je područje definicije zadane funkcije dano sa $ \displaystyle \mathcal{D}=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid y=x\right\}$ (slika 3.1).

Slika: Područje definicije funkcije $ z(x,y)=1+\sqrt {-(x-y)^2}$
\begin{figure}
\begin{center}
\epsfig{file=sl1_domena.eps, width=8cm}
\end{center}
\end{figure}

b)
Zadana funkcija definirana je na području $ \displaystyle \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^2$ koje je određeno nejednadžbom $ \displaystyle 4-x^2-y^2>0$ , odnosno (slika 3.2)

$\displaystyle \mathcal{D}=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2<4\right\}$.    

Slika: Područje definicije funkcije $ z(x,y)=\frac {1}{\sqrt {4-x^2-y^2}}$
\begin{figure}
\begin{center}
\epsfig{file=sl2_domena.eps, width=8cm}
\end{center}
\end{figure}

c)
Funkcija $ \displaystyle \ln (x+y)$ definirana je za sve točke $ \displaystyle (x,y)\in \mathbb{R}^2$ za koje je $ \displaystyle x+y>0$ , odnosno na području (slika 3.3)

$\displaystyle \mathcal{D}=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid y>-x\right\}.$    

Slika: Područje definicije funkcije $ z(x,y)=\ln (x+y)$
\begin{figure}
\begin{center}
\epsfig{file=sl3_domena.eps, width=8cm}
\end{center}
\end{figure}

d)
Zadana funkcija će biti dobro definirana ako ispunjeni sljedeći uvjeti:

$\displaystyle y^2-4x$ $\displaystyle \geq 0,$    
$\displaystyle x^2+y^2-1$ $\displaystyle > 0,$    
$\displaystyle \ln (x^2+y^2-1)$ $\displaystyle \neq 0.$    

Dakle, područje definicije zadane funkcije je (vidi sliku 3.4):

$\displaystyle \mathcal{D}=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid (y^2\geq 4x)\wedge (x^2+y^2>1) \wedge (x^2+y^2\neq 2) \right\}.$    

Slika: Područje definicije funkcije $ \displaystyle z(x,y)=\frac{\sqrt {y^2-4x}}{\ln (x^2+y^2-1)}$
\begin{figure}
\begin{center}
\epsfig{file=sl4_domena.eps, width=8cm}
\end{center}
\end{figure}

e)
Prema definiciji funkcije $ \displaystyle \arcsin $ [*][M1, poglavlje 4.6.6], zaključujemo da domena zadane funkcije mora ispunjavati sljedeće uvjete:

$\displaystyle -1 \leq \frac{x}{2}$ $\displaystyle \leq 1,$    
$\displaystyle xy$ $\displaystyle \geq 0.$    

Drugi uvjet je ispunjen ako su $ x$ i $ y$ istog predznaka. Dakle (vidi sliku 3.5),

$\displaystyle \mathcal{D}=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid ((-2\leq x\leq 0)\wedge (y\leq 0))\vee ((0\leq x\leq 2)\wedge (y\geq 0))\right\}.$    

Slika: Područje definicije funkcije $ \displaystyle z(x,y)=\arcsin \frac{x}{2}+\sqrt {xy}$
\begin{figure}
\begin{center}
\epsfig{file=sl5_domena.eps, width=8cm}
\end{center}
\end{figure}


FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Parcijalna derivacija prvog reda