×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Linearna regresija     METODA NAJMANJIH KVADRATA I     Rješavanje problema najmanjih kvadrata


QR rastav vektora i matrice

a)
Zadana je točka $ T(10,20,20)$ . Odredite točku $ T'$ na negativnom dijelu osi $ x$ tako da bude $ \left\Vert \mathbf{r}_{T}\right\Vert =\left\Vert \mathbf{r}_{T^{\prime
}}\right\Vert $ . Odredite odgovarajuću Householderovu matricu $ H$ koja vektor $ \mathbf{r}_{T}$ preslikava u $ \mathbf{r}_{T^{\prime }}$ .

b)
Primjenom Householderovih transformacija izračunajte QR rastav matrice

$\displaystyle \begin{bmatrix}
 10 & 9 & 18  
 20 & -15 & -15  
 20 & -12 & 51
 \end{bmatrix}.$    

Rješenje.

a)
Norma radij-vektora $ \mathbf{r}_{T}=\begin{bmatrix}
10 \\
20 \\
20
\end{bmatrix} $ točke $ T(10,20,20)$ je $ \left\Vert \mathbf{r}_{T}\right\Vert _2=30$ .

Budući se točka $ T^{\prime}$ nalazi na negativnom dijelu osi apscisa, ordinata i aplikata su joj 0 . Od ishodišta je jednako udaljena kao i točka $ T$ , pa joj je apscisa $ -30$ , odnosno $ T^{\prime}(-30,0,0)$ .

Sada vektor $ \mathbf{r}_{T}$ moramo rotirati u $ \mathbf{r}_{T^{\prime }}$ , što znači da moramo pronaći matricu $ H$ za koju je

$\displaystyle H\begin{bmatrix}
 10  
 20  
 20 
 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 -30  
 0  
 0
 \end{bmatrix}.$    

Prema [*][M2, poglavlje 6.2.1], takva matrica $ H$ je dana s $ \displaystyle H=I - \frac{2}{\mathbf{v}^T \mathbf{v}}\mathbf{v} \mathbf{v}^T,$ gdje je $ \displaystyle \mathbf{v}=\mathbf{r}_{T}-\mathbf{r}_{T^{\prime
}}$ . Dakle,

$\displaystyle \mathbf{v}=\begin{bmatrix}40  20 20 \end{bmatrix}$    i  $\displaystyle H=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}-1& -2& -2  -2 & 2 & -1  -2 & -1 & 2 \end{bmatrix}.
$

Lako se provjeri da je

$\displaystyle H\mathbf{r}_T=\begin{bmatrix}-30 0 0 \end{bmatrix}.
$

b)
QR rastav matrice nalazimo uzastopnom primjenom QR rastava vektora, [*][M2, poglavlje 6.2.2]. U prvom dijelu zadatka pronašli smo Householderov reflektor

$\displaystyle H=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}-1& -2& -2  -2 & 2 & -1  -2 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

koji prvi stupac matrice $ A$ rotira u vektor $ \displaystyle \begin{bmatrix}-30 0 0 \end{bmatrix}$ .

Kod QR rastava vektora, matrica $ Q$ je upravo Householderov reflektor, pa QR rastav prvog stupca matrice $ A$ glasi

$\displaystyle \begin{bmatrix}10 20 20 \end{bmatrix}=\frac{1}{3}\begin{bmatr...
...& -1  -2 & -1 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}-30 0 0 \end{bmatrix}.
$

Označimo $ H_1=Q_1=H$ . Vrijedi

$\displaystyle Q_1 A = \left[ \begin{array}{c\vert c}
-30 & \begin{array}{cc} \...
...t]=\begin{bmatrix}-30& 15& -30  0 & -12 & -39  0 & -9 & 27 \end{bmatrix}.
$

Sada pronađimo Householderov reflektor $ H_2$ koji je pridružen prvom stupcu $ \mathbf{a}_2=\begin{bmatrix}-12 -9 \end{bmatrix}$ matrice $ A_2=\begin{bmatrix}-12 & -39  -9 & 27 \end{bmatrix}$ .

Norma vektora $ \mathbf{a}_2$ je $ \left\Vert\mathbf{a}_2\right\Vert _2=15$ , što znači da vektor $ \mathbf{a}_2$ treba zarotirati u $ \begin{bmatrix}\pm 15 0 \end{bmatrix}$ . Predznak se u praksi (zbog numeričke stabilnosti) bira tako da se izbjegne oduzimanje. U našem slučaju to je ``$ +$ ''. Dakle,

$\displaystyle \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-12 -9 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}15 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-27 -9 \end{bmatrix}$    i  $\displaystyle H_2=I - \frac{2}{\mathbf{v}_2^T \mathbf{v}_2}\mathbf{v}_2 \mathbf{v}_2^T=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}-4& -3  -3 & 4 \end{bmatrix}.
$

Stavimo

$\displaystyle Q_2=\begin{bmatrix}1 &  & H_2
\end{bmatrix}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}5 & 0 & 0  0 & -4& -3  0 & -3 & 4 \end{bmatrix}.
$

Sada je

$\displaystyle Q_2 Q_1 A =\begin{bmatrix}-30& 15& -30  0 & 15 & 15  0 & 0 & 45 \end{bmatrix}=R.
$

Matrice $ Q_1$ is $ Q_2$ su ortogonalne i simetrične, odnosno, vrijedi $ Q_1^{-1}=Q_1^T=Q_1$ i $ Q_2^{-1}=Q_2^T=Q_2$ . Dakle, matrica $ Q$ je

$\displaystyle Q=Q_1^{-1} Q_2^{-1} =Q_1Q_2=\frac{1}{15}
\begin{bmatrix}-5& 14& 2  -10 & -5 & -10  -15 & -2 & 11 \end{bmatrix}$

pa QR rastav matrice $ A$ glasi

$\displaystyle \begin{bmatrix}
10 & 9 & 18 \\
20 & -15 & -15 \\
20 & -12 & ...
...rix}
\begin{bmatrix}-30& 15& -30  0 & 15 & 15  0 & 0 & 45 \end{bmatrix}.
$


Linearna regresija     METODA NAJMANJIH KVADRATA I     Rješavanje problema najmanjih kvadrata