×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Homogene jednadžbe     Linearne diferencijalne jednadžbe drugog     Jednadžbe s konstantnim koeficijentima

Nehomogene jednadžbe

Sljedeći teorem daje opće rješenje linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda

$$y''+p(x) y'+q(x) y=f(x).$$ (5.14)

Teorem 5.4   Opće rješenje jednadžbe (5.14) dano je s

$$y=y_H+y_P,$$

gdje je $y_P$ neko partikularno rješenje, odnosno

$$y''_P+p(x) y'_P+q(x) y=f(x),$$

a $y_H$ rješenje pripadne homogene jednadžbe (5.11).

Dokaz.

Funkcija $y$ je zaista rješenje jer vrijedi

$$(y_H+y_P)''+p(x) (y_H+y_P)'+q(x) (y_H+y_P) =$$

$$=[y''_H+p(x) y'_H+q(x) y_H] + [y''_P+p(x) y'_P+q(x) y_P]=0+f(x)=f(x).$$

Još treba pokazati da funkcija $y$ može zadovoljiti bilo koje početne uvjete

$$y(x_0)=a,\qquad y'(x_0)=b,\qquad x_0\in\mathcal{I}.$$

Prema teoremu 5.3 rješenje homogene jednadžbe je oblika $y_H=C_1 y_1+C_2 y_2$ , gdje su $y_1$ i $y_2$ linearno nezavisne funkcije. Dakle,

$$y=C_1 y_1+C_2 y_2+y_P.$$

Uvrštavanjem dobivamo sustav linearnih jednadžbi u nepoznanicama $C_1$ i $C_2$ :

$$C_1 y_1(x_0)+C_2 y_2(x_0)=a- y_P(x_0)$$

$$C_1 y'_1(x_0)+C_2 y'_2(x_0)=b-y'_P(x_0).$$

Determinanta matrice ovog sustava je upravo Wronskijan koji je različit od nule prema teoremu 5.3. Stoga sustav ima jedinstveno rješenje i teorem je dokazan.     

Q.E.D.

Partikularno rješenje nalazimo metodom varijacije konstanti. Neka je $y=C_1 y_1+C_2 y_2$ rješenje pripadne homogene jednadžbe pri čemu su $y_1$ i $y_2$ linearno nezavisne funkcije. Partikularno rješenje nehomogene jednadžbe tražimo u istom obliku, s tom razlikom što pretpostavljamo da $C_1$ i $C_2$ nisu konstante, već neke funkcije od $x$ . Deriviranje daje

$$y'=C_1 y'_1+C_2 y'_2+C'_1 y_1 + C'_2 y_2.$$

Odaberimo funkcije $C_1$ i $C_2$ tako da zadovoljavaju uvjet

$$C'_1 y_1 + C'_2 y_2=0.$$ (5.15)

Tada je

$$y'=C_1 y'_1+C_2 y'_2$$

pa je

$$y''=C_1 y''_1+C_2 y''_2+C'_1 y'_1+C'_2 y'_2.$$

Uvrštavanje u jednadžbu (5.14) daje

$$C_1 y''_1+C_2 y''_2+C'_1 y'_1+C'_2 y'_2 + p(x) [C_1 y'_1+C_2 y'_2] + q(x) (C_1 y_1+C_2 y_2)=f(x),$$

odnosno

$$C_1 [y_1''+p(x) y'_1+q(x) y_1]+C_2 [y_2''+p(x) y'_2+q(x) y_2]+ C'_1 y'_1+C'_2 y'_2=f(x).$$

Kako su $y_1$ i $y_2$ rješenja homogene jednadžbe, izrazi u uglatim zagradama jednaki su nuli pa je

$$C'_1 y'_1+C'_2 y'_2=f(x).$$

Kombinirajući ovu jednakost s jednakošću (5.15), vidimo da su funkcije $C'_1$ i $C'_2$ rješenje sustava linearnih jednadžbi

$$C'_1 y_1 + C'_2 y_2 =0,$$ (5.16)

$$C'_1 y'_1+C'_2 y'_2 =f(x).$$

Determinanta ovog sustava je Wronskijan linearno nezavisnih funkcija $y_1$ i $y_2$ koji je uvijek različit od nule pa sustav ima jedinstveno rješenje. Ako je rješenje sustava, na primjer,

$$C'_1=\alpha(x),\qquad C'_2(x)=\beta(x),$$

onda je, konačno,

$$C_1(x)=\int \alpha(x) dx+A, \qquad C_2(x)=\int\beta (x) dx+ B$$

pri čemu su $A$ i $B$ konstante integracije.

Primjer 5.22   Nađimo opće rješenje diferencijalne jednadžbe

$$y''-\frac{y'}{x}=x.$$

Prvo nađimo opće rješenje homogene jednadžbe

$$y''-\frac{y'}{x}=0.$$

Iz

$$\frac{y''}{y'}=\frac{1}{x}$$

slijedi

$$\ln y'=\ln x+\ln C$$

pa je $y'=Cx$ . Dakle,

$$y_H=C_1 x^2+C_2.$$

Partikularno rješenje ćemo odrediti metodom varijacije konstanti: funkcije $C_1$ i $C_2$ ćemo odrediti iz rješenja sustava

$$C'_1 x^2+C'_1 1=0,\qquad 2 C'_1 x+C'_2 \cdot 0 = x.$$

Dakle,

$$C'_1=\frac{1}{2},\qquad C'_2=-\frac{1}{2} x^2$$

pa je

$$C_1=\frac{1}{2} x + A,\qquad C_2=-\frac{1}{6} x^3 + B.$$

Stoga je, uz $A=B=0$ , partikularno rješenje jednako

$$y_P=C_1 x^2 + C_2 = \frac{1}{3} x^3$$

pa je opće rješenje jednako

$$y=y_H+y_P=C_1 x^2 + C_2 +\frac{1}{3} x^3.$$

Napomena 5.1   Ukoliko je funkcija $f$ zbroj dviju funkcija, $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ , onda je partikularno rješenje jednadžbe

$$y''+p(x) y'+q(x) y=f_1(x)+f_2(x)$$

jednako $y_P=y_{P_1}+y_{P_2}$ pri čemu je

$$y''_{P_i}+p(x) y'_{P_i}+q(x) y=f_i(x), \qquad i=1,2.$$

Na primjer, partikularno rješenje jednadžbe $y''+4y=x$ je $y_{P_1}=x/4$ , a partikularno rješenje jednadžbe $y''+4y=3e^x$ je $y_{P_2}=3e^x/5$ pa je partikularno rješenje jednadžbe

$$y''+4y=x+3e^x$$

jednako

$$y=\frac{1}{4} x+\frac{3}{5} e^x.$$

Homogene jednadžbe     Linearne diferencijalne jednadžbe drugog     Jednadžbe s konstantnim koeficijentima