×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Definicija i osnovna svojstva     Definicija i osnovna svojstva     Metode supstitucije


Tablica osnovnih integrala

Kao što smo već kazali, tablicu osnovnih integrala dobijemo čitajući tablicu osnovnih derivacija (vidi [*]M1, poglavlje 5.1.5) zdesna na lijevo, uz odgovarajuće manje prilagodbe. Sljedeće formule vrijede za $ x\in\mathbb{R}$ , ukoliko nije drukčije navedeno. Za konstantnu funkciju i potencije vrijedi:

$\displaystyle \int 0\cdot   dx$ $\displaystyle = C,$    
$\displaystyle \int   dx$ $\displaystyle = \int 1\cdot   dx=x+C,$    
$\displaystyle \int x^n   dx$ $\displaystyle =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \qquad n\in \mathbb{N}\cup \{0\},$    
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{1}{x^n}   dx$ $\displaystyle =-\displaystyle \frac{1}{(n-1)  x^{n-1}}+C, \qquad n\in \mathbb{N}\setminus\{1\},$    
$\displaystyle \int x^r   dx$ $\displaystyle =\frac{x^{r+1}}{r+1}+C, \qquad r\neq -1, \quad x>0,$    
$\displaystyle \int x^{-1}  dx$ $\displaystyle = \int \displaystyle \frac{1}{x}  dx=\ln \vert x\vert+C, \qquad x\neq 0.$    

Dokažimo zadnju formulu: za $ x>0$ vrijedi $ \ln\vert x\vert=\ln x$ pa je $ (\ln \vert x\vert)'=(\ln x)'=1/x$ , dok za $ x<0$ vrijedi $ \ln \vert x\vert=\ln (-x)$ pa je

$\displaystyle (\ln \vert x\vert)'=(\ln (-x))'=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}.
$

Za eksponencijalne funkcije imamo

$\displaystyle \int e^x   dx$ $\displaystyle =e^x+C,$    
$\displaystyle \int a^x   dx$ $\displaystyle =\frac{a^x}{\ln a} + C, \qquad a\in (0,+\infty)\setminus\{1\}.$    

Formule za derivacije trigonometrijskih funkcija povlače

$\displaystyle \int \sin x  dx$ $\displaystyle =-\cos x+ C,$    
$\displaystyle \int \cos x  dx$ $\displaystyle =\sin x+C,$    
$\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x}  dx$ $\displaystyle =\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x+C, \quad x\in \mathbb{R}\setminus \{k\pi+\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\},$    
$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x}  dx$ $\displaystyle =-\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x+C, \quad x\in \mathbb{R}\setminus \{k\pi, k\in\mathbb{Z}\},$    

a formule za derivacije arkus funkcija povlače

$\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}  dx$ $\displaystyle =\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x + C=-\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits x+C,$    
$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  dx$ $\displaystyle =\arcsin x + C=-\arccos x+C, \quad x\in(-1,1).$    

Druge po redu jednakosti u prethodne dvije formule slijede iz jednakosti

$\displaystyle \mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits x=\frac{\pi}{2}-\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x, \qquad
\arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x.
$

Primijetimo da integrali funkcija $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ i $ \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ ne spadaju u tablične integrale.

Konačno, formule za derivacije hiperbolnih funkcija povlače

$\displaystyle \int \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x  dx$ $\displaystyle =\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x+ C,$    
$\displaystyle \int \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x  dx$ $\displaystyle =\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x+C,$    
$\displaystyle \int \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2 x}  dx$ $\displaystyle =\mathop{\mathrm{th}}\nolimits x+C,$    
$\displaystyle \int \frac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits ^2 x}  dx$ $\displaystyle =-\mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x+C, \quad x\neq 0,$    

dok formule za derivacije area funkcija povlače

$\displaystyle \int \frac{1}{1-x^2}  dx$ $\displaystyle = \left\{ \begin{array}{rc} \mathop{\mathrm{arth}}\nolimits x + C...
...mathrm{arcth}}\nolimits x+C,& \textrm{ za } \vert x\vert>1 \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2}\ln \left\vert \frac{1+x}{1-x}\right\vert+C, \quad x\neq 1,$    
$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}  dx$ $\displaystyle =\mathop{\mathrm{arsh}}\nolimits x + C= \ln (x+\sqrt{x^2+1})+C, \quad x\in \mathbb{R},$    
$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}  dx$ $\displaystyle = \left\{ \begin{array}{rl} \mathop{\mathrm{arch}}\nolimits x + C...
...mathop{\mathrm{arch}}\nolimits (-x)+C,& \textrm{ za } x<-1 \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =\ln \vert x+\sqrt{x^2-1}\vert+C, \quad x\in \mathbb{R}\setminus [-1,1].$    

Primjer 1.3   Neposredno integriranje je najjednostavnija tehnika integriranja. Ono se sastoji u primjeni teorema 1.4 i tablice osnovnih integrala. Na primjer,

$\displaystyle \int \big(4\cos x +\frac{1}{2} x^3 -3\big)  dx$ $\displaystyle = 4\int \cos x   dx+ \frac{1}{2}\int x^3  dx-3\int   dx$    
  $\displaystyle = 4\sin x+\frac{1}{2}\cdot \frac{x^4}{4}-3x+C.$    

Sljedeći integral rješavamo primjenom osnovnog trigonometrijskog identiteta. Vrijedi

$\displaystyle \int\frac{  dx}{\sin^2x\cos^2x}$ $\displaystyle = \int\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x}  dx$    
  $\displaystyle =\int\frac{  dx}{\cos^2x}+\int\frac{  dx}{\sin^2x}= \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x-\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x +C,$    

pri čemu podrazumijevamo da jednakosti vrijede u svim točkama u kojima su sve funkcije definirane. Riješimo još

$\displaystyle \int \vert x\vert  dx.
$

Kada je $ x>0$ , tada je

$\displaystyle \int \vert x\vert  dx=\int x  dx=\frac{1}{2} x^2 +C \equiv \frac{1}{2}\vert x\vert x+C,
$

a kada je $ x<0$ , tada je

$\displaystyle \int \vert x\vert  dx=\int (-x)  dx=-\frac{1}{2} x^2 +C \equiv \frac{1}{2}\vert x\vert x+C.
$

Dakle,

$\displaystyle \int \vert x\vert  dx=\frac{1}{2}\vert x\vert x+C,\quad x\neq 0.
$


Definicija i osnovna svojstva     Definicija i osnovna svojstva     Metode supstitucije