Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Primjer 1.8 Vrijedi

$\displaystyle I$	$\displaystyle =\int\frac{ dx}{(2+\cos x)\sin x}=\big\{ t=\mathop{\mathrm{tg}}... ...+t^2} dt}{\displaystyle \bigg(2+\frac{1-t^2}{1+t^2}\bigg) \frac{2 t}{1+t^2}}$
	$\displaystyle =\int \frac{1+t^2}{(3+t^2) t} dt.$

Brojnik i nazivnik nemaju zajedničkih nul-točaka, a stupanj brojnika je manji od stupnja nazivnika. Rastavljanje na parcijalne razlomke daje

$\displaystyle \frac{1+t^2}{(3+t^2)t}=\frac{A}{t}+\frac{B t+C}{3+t^2}.$

Množenje ove jednakosti s nazivnikom, izjednačavanje koeficijenata uz potencije od

i rješavanje tako dobivenog sustava linearnih jednadžbi daje

$\displaystyle A=\frac{1}{3},\qquad B=\frac{2}{3}, \qquad C=0.$

Dakle,

$\displaystyle I$	$\displaystyle = \frac{1}{3}\int \frac{ dt}{t} +\frac{2}{3}\int \frac{t dt}{3+t^2} =\bigg\{ \begin{aligned}3+t^2=u 2 t dt= du\end{aligned}\bigg\}$
	$\displaystyle = \frac{1}{3} \ln\vert t\vert+\frac{1}{3}\ln\vert u\vert+C = \fra... ...rt + \frac{1}{3} \ln \big(3+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^2\frac{x}{2}\big)+C.$

$\displaystyle \sin x$	$\displaystyle =\frac{2 t}{1+t^2},$
$\displaystyle \cos x$	$\displaystyle =\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2} = \cos^2\frac{x}{2}\left(1-\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^2\frac{x}{2}\right) =\frac{1-t^2}{1+t^2}.$