×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Numeričko računanje QR rastava     QR rastav     Ekonomični QR rastav

Rješavanje problema najmanjih kvadrata

Koristeći svojstvo ortogonalne matrice $Q$ da je $\Vert Q\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$ možemo lako riješiti problem najmanjih kvadrata. Neka je $A$ matrica tipa $m\times n$ , $m>n$ , neka je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits A=n$ i neka je $A=QR$ rastav matrice $A$ . Tada je

$$\Vert A\mathbf{x} - \mathbf{b}\Vert^2= \Vert QR\mathbf{x}-Q Q^T \... ...\mathbf{x}-Q^T \mathbf{b})\Vert^2 = \Vert R\mathbf{x}-Q^T \mathbf{b} \Vert^2.$$

Matricu $R$ možemo zapisati kao

$$R=\begin{bmatrix}R_0 0 \end{bmatrix},$$ (6.6)

gdje je $R_0$ gornje trokutasta kvadratna matrica reda $n$ , a vektor $Q^T\mathbf{b}$ možemo zapisati kao

$$Q^T \mathbf{b}=\begin{bmatrix}\mathbf{c} \mathbf{d} \end{bmatrix},$$

gdje je $\mathbf{c}$ dimenzije $n\times 1$ i $\mathbf{d}$ dimenzije $(m-n)\times 1$ . Sada imamo

$$\Vert A\mathbf{x} - \mathbf{b}\Vert^2=\Vert R\mathbf{x}-Q^T \math... ...right\Vert^2 = \Vert R_0 \mathbf{x}-\mathbf{c}\Vert^2+\Vert \mathbf{d}\Vert^2.$$

Kako je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits A=n$ , iz svojstva QR3. zaključujemo da trokutasti sustav $R_0\mathbf{x}=\mathbf{c}$ ima jedinstveno rješenje $\mathbf{x}$ za koje je $\Vert R_0\mathbf{x}-\mathbf{c}\Vert=0$ . Kako $\mathbf{d}$ ne ovisi o $\mathbf{x}$ , vrijednost $\Vert A\mathbf{x} - \mathbf{b}\Vert$ se ne može više smanjiti pa je $\mathbf{x}$ upravo (jedinstveno) rješenje problema najmanjih kvadrata. Očito je

$$\min_{\mathbf{x}} \Vert A\mathbf{x} - \mathbf{b}\Vert =\Vert\mathbf{d}\Vert.$$

Sljedeća funkcija rješava problem najmanjih kvadrata pomoću QR rastava:

   function x=mojLS(A,b)
      % Rješava problem najmanjih kvadrata || A*x - b || --> min
      % za matricu punog stupčanog ranga A koristeći QR rastav.
      [m,n]=size(A)
      [Q,R]=mojQR(A)
      b1=Q'*b
      c=b1(1:n)
      x=R(1:n,1:n)\c
   end

Zadatak 6.6   Riješite problem najmanjih kvadrata iz primjera 6.2 pomoću prethodnog potprograma i usporedite rješenje s rješenjima dobivenim korištenjem normalne jednadžbe i Matlabove naredbe x=A\b.

Octave On-line

A = [1 1 1 4 2 1 16 4 1 25 5 1 36 6 1] b = [0 1 4 8 14]' % Rjesenje problema najmanjih kvadrata pomocu QR rastava function v=House(x) % racuna Householderov vektor v iz vektora x sig=sign(x(1)); if sig==0, sig=1; end v=x; v(1)=v(1)+sig*norm(v); end function B=mnoziHouse(v,A) % racuna produkt HA=(I-2*v*v'/(v'*v))*A % bez formiranja matrice H beta=-2/(v'*v); w=beta*A'*v; B=A+v*w'; end function [Q,R]=mojQR(A) % QR rastav A=Q*R. A je m x n i mora biti rank(A)n. [m,n]=size(A); Q=eye(m); for i=1:min(m-1,n) v=House(A(i:m,i)); A(i:m,i:n)=mnoziHouse(v, A(i:m,i:n)); Q(i:m,:)=mnoziHouse(v, Q(i:m,:)); end R=A; Q=Q'; end function x=mojLS(A,b) % Rjesava problem najmanjih kvadrata || A\vecbf x - \vecbf b || --> min % za matricu punog stupcanog ranga A koristeci QR rastav. [m,n]=size(A); [Q,R]=mojQR(A); b1=Q'*b; c=b1(1:n); x=R(1:n,1:n)\c; end x=mojLS(A,b) % Matlabovo rjesenje xm=A\b

     

[Octave On-line Home]    [Octave User's Guide]

Napomena 6.4   Vidjeli smo da problem najmanjih kvadrata možemo rješavati na dva načina: pomoću normalne jednadžbe i pomoću QR rastava. Rješavanje problema najmanjih kvadrata pomoću QR rastava je otprilike dva puta sporije, ali zato ima bolja numerička svojstva, odnosno u određenim situacijama daje točnije rješenje.

Numeričko računanje QR rastava     QR rastav     Ekonomični QR rastav