×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULJNI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

PODSJETNIK

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULNJI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika3 KRIVULJNI INTEGRALI     KRIVULJNI INTEGRALI     Krivuljni integral skalarnog polja

Glatka krivulja

Skup točaka $C\in \mathbb{R}^3$ je jednostavna^2.1 glatka krivulja ako:

i)

postoji neprekidna injekcija

$$r:[a,b] \to \mathbb{R}^3, \qquad [a,b]\subseteq \mathbb{R},$$

za koju vrijedi

$$C=\{ r(t)\, : \ t\in[a,b]\},$$

ii)

postoji neprekidna derivacija $\mathbf{r}'$ i

$$\mathbf{r}'(t)\neq \mathbf{0}, \qquad \forall t\in[a,b].$$

Drugim riječima, krivulja $C$ je hodograf vektorske funkcije $\mathbf{r}(t)=\overrightarrow{OM}$ , gdje je $r(t)=M$ .

Par $([a, b],r)$ je glatka parametrizacija krivulje $C$ . Krivulja može imati više parametrizacija.

Točke $A=r(a)$ i $B=r(b)$ su rubovi (početak i kraj) krivulje $C$ . Ako je $B=A$ , onda je krivulja zatvorena.

Injektivnost funkcije $r$ povlači jednostavnost krivulje $C$ - ako je $r$ injekcija, onda $C$ ne presijeca samu sebe.

Neprekidnosti derivacije $\mathbf{r}'$ povlači glatkoću krivulje $C$ , kao i to da u svakoj točki krivulja ima tangentu s vektorom smjera $\mathbf{r}(t)$ .

Označimo li u sustavu $(O,\mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k})$ koordinate točke $r(t)$ s

$$x(t)=\varphi(t),\quad y(t)=\psi(t),\quad z(t)=\xi(t),$$

dobili smo parametarske jednadžbe krivulje $C$ . Jednadžba

$$\mathbf{r}(t)=\varphi(t)\, \mathbf{i} + \psi(t)\, \mathbf{j} + \xi(t)\, \mathbf{k}$$

je vektorska parametarska jednadžba krivulje $C$ .

Skup $C$ je po djelovima glatka krivulja ako se može dobiti povezivanjem konačno mnogo jednostavnih glatkih krivulja $C_1$ , $C_2$ , ..., $C_k$ , pri čemu svaki par tih krivulja može imati najviše konačno zajedničkih točaka (vidi sliku 2.1).

Slika 2.1: Po djelovima glatka krivulja

Krivulja $C$ ima dvije neprekidne orijentacije:

• u smislu rasta parametra $t$ , odnosno gibamo se od točke $A=r(a)$ do točke $B=r(b)$ (slika 2.2 a)), i
• u smislu pada parametra $t$ , odnosno gibamo se od točke $B=r(b)$ do točke $A=r(a)$ (slika 2.2 b)).

Slika 2.2: Neprekidne orijentacija krivulje

Ovdje treba biti oprezan jer orijentacija u smislu rasta parametra $t$ može biti jednaka orijentaciji u smislu pada nekog drugog parametra $t'$ .

Po djelovima glatku krivulju orijentiramo tako da njene sastavne djelove orijentiramo suglasno (slika 2.3).

Slika 2.3: Orijentacija po djelovima glatke krivulje

Ako je $C$ ravninska krivulja, onda je negativna orijentacija u smjeru gibanja kazaljke na satu, a pozitivna orijentacija obratno od gibanja kazaljke na satu.

KRIVULJNI INTEGRALI     KRIVULJNI INTEGRALI     Krivuljni integral skalarnog polja