×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULJNI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

PODSJETNIK

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULNJI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika3 Glatka krivulja     KRIVULJNI INTEGRALI     Krivuljni integral vektorskog polja

Krivuljni integral skalarnog polja

Definicija 2.1   Neka je $f$ skalarno polje, a $C$ glatka krivulja

$$\mathbf{r}(t)=\varphi(t)\, \mathbf{i} + \psi(t)\, \mathbf{j} + \xi(t)\, \mathbf{k}, \qquad t\in[a,b].$$

Ako je funkcija $(f\circ(\varphi,\psi,\xi))\, \vert\mathbf{r}'\vert$ integrabilna na intervalu $[a,b]$ , onda određeni integral

$$\int\limits_C f(x,y,z)\, ds = \int\limits_a^b (f\circ(\varphi,\psi,\xi))(t)\, \vert\mathbf{r}'(t)\vert \, dt$$

$$=\int\limits_a^b f(\varphi(t),\psi(t),\xi(t))\, \sqrt{ [\varphi'(t)]^2+ [\psi'(t)]^2 + [\xi'(t)]^2} \, dt$$

zovemo krivuljni integral skalarnog polja $f$ (prve vrste) po glatkoj krivulji $C$ .

Izraz

$$ds = \vert\mathbf{r}'(t)\vert \, dt= \sqrt{ [\varphi'(t)]^2+ [\psi'(t)]^2 + [\xi'(t)]^2} \, dt$$

jednak je elementu duljine luka (usporedi s [M2, poglavlje 2.6.2]).

Krivuljni integral prve vrste po po djelovima glatkoj krivulji definiramo kao

$$\int\limits_C f \, ds = \int\limits_{C_1} f \, ds + \int\limits_{C_2} f \, ds + \cdots + \int\limits_{C_k} f \, ds.$$

Ako je $f$ linearna gustoća krivulje $C$ , onda $\int\limits_C f \, ds$ daje masu krivulje. Ako stavimo $f=1$ , onda $\int\limits_C \, ds$ daje duljinu krivulje.

Bez dokaza navodimo sljedeće tvrdnje:

i)

krivuljni integral skalarnog polja ne ovisi ni o parametrizaciji niti o orijentaciji krivulje,

ii)

krivuljni integral skalarnog polja je linearan, odnosno

$$\int\limits_C (\lambda \, f+\mu\, g) \, ds = \lambda \int\limits_{C} f \, ds + \mu \int\limits_{C} g\, ds.$$

Primjer 2.1   Izračunajmo krivuljni integral skalarnog polja $f(x,y,z)=x+z$ po luku krivulje $C$ zadane s

$$x=2\, t, \qquad y=t^2, \qquad z=\frac{1}{3}\,t^3, \qquad 0\leq t\leq 1.$$

Krivulja je prikazana na slici 2.4.

Slika 2.4: Luk krivulje $C$

Vrijedi $A=r(0)=(0,0,0)$ i $B=r(1)=(2,1,1/3)$ te imamo

$$\int\limits_C f\, ds = \int\limits_0^1 \left(2\, t+ \frac{1}{3}\,t^3\right) \, \sqrt{2^2 +(2\, t)^2 + (t^2)^2}\, dt$$

$$= \int\limits_0^1 \left(2\, t+ \frac{1}{3}\,t^3\right) \, (2+t^2) \, dt= \displaystyle \frac{t^2\, (t^2+6)^2}{18}\bigg\vert _0^1$$

$$= \displaystyle \frac{49}{18}.$$

Ako je krivulja $C$ zadna kao presjek dvaju ploha, $G(x,y,z)=0$ i $H(x,y,z)=0$ , koje ispunjavaju uvjete teorema o implicitnoj funkciji [M2, teorem 3.9], onda nakon eliminacije krivulju $C$ možemo prikazati kao presjek dvaju novih ploha,

$$y=g(x), \quad z=h(x), \qquad x\in[a,b],$$

pri čemu su funkcije $g$ i $h$ neprekidno derivabilne na intervalu $[a,b]$ . Tada je

$$\int\limits_C f(x,y,z)\, ds = \int\limits_a^b f(x,g(x),h(x))\, \sqrt{1+g'^2(x) + h'^2(x)}\, dx,$$

odnosno, radi se o posebnoj parametrizaciji

$$x=t, \qquad y=g(t),\qquad z=h(t),\qquad t\in[a,b].$$

Ako je $C$ ravninska krivulja zadana s

$$\mathbf{r}(t)=\varphi(t)\, \mathbf{i} + \psi(t)\, \mathbf{j}, \qquad t\in[a,b],$$

onda je

$$\int\limits_C f(x,y) \, ds = \int\limits_a^b f(\varphi(t),\psi(t))\, \sqrt{ [\varphi'(t)]^2+ [\psi'(t)]^2} \, dt.$$

Posebno, ako je ravninska krivulja $C$ zadana s

$$y=g(x), \qquad x\in[a,b],$$

onda je

$$\int\limits_C f(x,y)\, ds = \int\limits_a^b f(x,g(x))\, \sqrt{1+g'^2(x)}\, dx.$$

Primjer 2.2   Izračunajmo krivuljni integral skalarnog polja $f(x,y)=x\,y$ po luku krivulje $C$ zadane s (slika 2.5)

a)

$C_a\ \ldots \ y=-x+1, \quad x\in[0,1]$ ,

b)

$C_b\ \ldots \ y=-x^2+1, \quad x\in[0,1]$ .

Slika 2.5: Ravninske krivulje

Za krivulju $C_a$ imamo

$$\int\limits_{C_a} f(x,y)\, ds = \int\limits_0^1 x\, (-x+1) \sqrt{1+(-1)^2}\, dx$$

$$= \sqrt{2}\, \int\limits_0^1 (-x^2+x)\, dx=\frac{\sqrt{2}}{6},$$

dok za krivulju $C_b$ imamo

$$\int\limits_{C_b} f(x,y)\, ds = \int\limits_0^1 x\, (-x^2+1) \sqrt{1+(-2\, x)^2}\, dx = \cdots = \frac{25\, \sqrt{5}-11}{120}.$$

Glatka krivulja     KRIVULJNI INTEGRALI     Krivuljni integral vektorskog polja