☰ matematika2

FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA Parcijalna derivacija prvog reda

Područje definicije funkcije

Odredite područje definicije funkcija:

a): $\displaystyle z(x,y)=1+\sqrt {-(x-y)^2}$ ,
b): $\displaystyle z(x,y)=\frac{1}{\sqrt {4-x^2-y^2}}$ ,
c): $\displaystyle z(x,y)=\ln (x+y)$ ,
d): $\displaystyle z(x,y)=\frac{\sqrt {y^2-4x}}{\ln (x^2+y^2-1)}$ ,
e): $\displaystyle z(x,y)=\arcsin \frac{x}{2}+\sqrt {xy}$ .

Rješenje.

a)

Da bi zadana funkcija bila dobro definirana mora vrijediti

$\displaystyle -(x-y)^2 \geq 0$ ,

to jest

$\displaystyle (x-y)^2 \leq 0$ .

To je ispunjeno samo kada je $\displaystyle x-y=0$ , odnosno $\displaystyle y=x$ , pa je područje definicije zadane funkcije dano sa $\displaystyle \mathcal{D}=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid y=x\right\}$ (slika 3.1).

**Slika:** Područje definicije funkcije $z(x,y)=1+\sqrt {-(x-y)^2}$
$\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl1_domena.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}$

b)

Zadana funkcija definirana je na području $\displaystyle \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^2$ koje je određeno nejednadžbom $\displaystyle 4-x^2-y^2>0$ , odnosno (slika 3.2)

$\displaystyle \mathcal{D}=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2<4\right\}$ .

**Slika:** Područje definicije funkcije $z(x,y)=\frac {1}{\sqrt {4-x^2-y^2}}$
$\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl2_domena.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}$

c)

Funkcija $\displaystyle \ln (x+y)$ definirana je za sve točke $\displaystyle (x,y)\in \mathbb{R}^2$ za koje je $\displaystyle x+y>0$ , odnosno na području (slika 3.3)

$\displaystyle \mathcal{D}=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid y>-x\right\}.$

**Slika:** Područje definicije funkcije $z(x,y)=\ln (x+y)$
$\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl3_domena.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}$

d)

Zadana funkcija će biti dobro definirana ako ispunjeni sljedeći uvjeti:

$\displaystyle y^2-4x$	$\displaystyle \geq 0,$
$\displaystyle x^2+y^2-1$	$\displaystyle > 0,$
$\displaystyle \ln (x^2+y^2-1)$	$\displaystyle \neq 0.$

Dakle, područje definicije zadane funkcije je (vidi sliku 3.4):

$\displaystyle \mathcal{D}=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid (y^2\geq 4x)\wedge (x^2+y^2>1) \wedge (x^2+y^2\neq 2) \right\}.$

**Slika:** Područje definicije funkcije $\displaystyle z(x,y)=\frac{\sqrt {y^2-4x}}{\ln (x^2+y^2-1)}$
$\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl4_domena.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}$

e)

Prema definiciji funkcije $\displaystyle \arcsin$

[M1, poglavlje 4.6.6], zaključujemo da domena zadane funkcije mora ispunjavati sljedeće uvjete:

$\displaystyle -1 \leq \frac{x}{2}$	$\displaystyle \leq 1,$
$\displaystyle xy$	$\displaystyle \geq 0.$

Drugi uvjet je ispunjen ako su

istog predznaka. Dakle (vidi sliku 3.5),

$\displaystyle \mathcal{D}=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid ((-2\leq x\leq 0)\wedge (y\leq 0))\vee ((0\leq x\leq 2)\wedge (y\geq 0))\right\}.$

**Slika:** Područje definicije funkcije $\displaystyle z(x,y)=\arcsin \frac{x}{2}+\sqrt {xy}$
$\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl5_domena.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}$

FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA Parcijalna derivacija prvog reda