previous up next
Natrag: Definicija Gore: FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI   Naprijed: Neprekidnost  


Limes

U ovom poglavlju definirat ćemo limes funkcije više varijabli i dati osnovna svojstva limesa.

Definicija 3.4   Neka su $ T_1=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ i $ T_2=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ dvije točke iz $ \mathbb{R}^n$. Njihovu udaljenost definiramo kao

$\displaystyle d(T_1,T_2)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}.
$

Skup

$\displaystyle K(T,\delta)=\{S\in\mathbb{R}^n\mid d(T,S)<\delta\}
$

nazivamo otvorena kugla radijusa $ \delta$ oko točke $ T$ ili $ \delta$-okolina točke $ T$.

Napomena 3.2   Gornja formula za udaljenost je direktno poopćenje formula za udaljenost u $ \mathbb{R}$, $ \mathbb{R}^2$ i $ \mathbb{R}^3$). Za $ n=1$ $ K(T,\delta)$ je otvoreni interval oko točke $ T$, za $ n=2$ to je krug oko točke $ T$ (bez oboda) radijusa $ \delta$, a za $ n=3$ to je kugla oko točke $ T$ (bez plašta) radijusa $ \delta$ (vidi sliku 3.10)

Slika 3.10: Otvorene kugle za $ n=1,2,3$
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/otkug,width=6.0cm}
\end{center}\end{figure}

Definicija 3.5   Neka su zadane funkcija $ f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ i točka $ T_0\in \mathcal{D}$ takva da svaku $ \delta$-okolinu od $ T_0$ vrijedi

$\displaystyle K(T_0,\delta)\cap \mathcal{D}\setminus\{T_0\}\neq \emptyset.
$

Kažemo da je $ a\in\mathbb{R}$ granična vrijednost ili limes funkcije $ f$ u točki $ T_0$ ako

$\displaystyle (\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0) T\in K(T_0,\delta)\setminus\{T_0\}
\Rightarrow \vert f(T)-a\vert<\varepsilon.
$

Pišemo

$\displaystyle \lim_{T\to T_0} f(T)=a.
$

Primjer 3.4   Pokažimo da je

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=0.
$

Zbog $ x^2+y^2\geq 2\vert xy\vert$ imamo (vidi sliku 3.23)

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\left\vert\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right\vert=
\l...
...x^2y}{2xy}\right\vert=
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left\vert\frac{x}{2}\right\vert=0.
$

Određivanje limesa funkcije više varijabla teže je nego određivanje limesa funkcije jedne varijable jer se točka $ T$ može približavati točki $ T_0$ po neprebrojivo mnogo različitih putova a limes po svim tim putovima mora biti isti.

Teorem 3.1   Slijedeće tvrdnje su ekvivalentne:
(i)
$ \displaystyle \lim_{T\to T_0} f(T)=a$,
(ii)
za svaki niz točaka $ (T_k\in\mathcal{D}\setminus\{T_0\}, k\in \mathbb{N})$, koji konvergira prema točki $ T_0$, pripadajući niz funkcijskih vrijednosti $ (f(T_k), k\in \mathbb{N})$ konvergira prema broju $ a$.

Gornji teorem nepogodan je za primjenu u slučaju kada moramo pokazati da neki limes postoji (potrebno je provjeriti beskonačno mnogo različitih nizova). Češće ga koristimo u slučaju kad želimo pokazati da neki limes ne postoji (dovoljno je pronaći jedan ili dva niza koji upućuju na nepostojanje limesa).

Primjer 3.5   Pokažimo da funkcija

$\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}
$

nema limes u točki $ (0,0)$. Uzmemo li nizove točaka $ ((1/n,1/n),n\in\mathbb{N})$ i $ ((1/n,0),n\in\mathbb{N})$ vidimo da oba konvergiraju k $ (0,0)$, ali za pripadajuće nizove funkcijskih vrijednosti imamo

$\displaystyle f(1/n,1/n)$ $\displaystyle =\frac{(1/n)^2-(1/n)^2}{(1/n)^2+(1/n)^2}\to 0,$    
$\displaystyle f(1/n,0)$ $\displaystyle =\frac{(1/n)^2-0}{(1/n)^2+0}\to 1.$    

Koristeći teorem 3.1 zaključujemo da $ \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ ne postoji (vidi sliku 3.24).

Citirajmo ovdje i teorem o uzastopnim limesima za funkciju dviju varijabla:

Teorem 3.2   Neka je

$\displaystyle L=\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y).
$

Ako postoje uzastopni limesi

$\displaystyle L_1=\lim_{x\to x_0}\left(\lim_{y\to y_0}f(x,y\right)$    i $\displaystyle \quad
L_2=\lim_{y\to y_0}\left(\lim_{x\to x_0}f(x,y\right)
$

onda je $ L_1=L=L_2$.

Jasno je da obratna tvrdnja od ove u gornjem teoremu ne vrijedi tj. postojanje i jednakost uzastopnih limesa $ L_1$ i $ L_2$ u točki $ (x_0,y_0)$ znači samo postojanje granične vrijednosti za dva od beskonačno mnogo putova približavanja točki $ (x_0,y_0)$, što ne osigurava postojanje limesa $ L$. Međutim, postojanje uzastopnih limesa $ L_1$ i $ L_2$ koji su različiti tj. $ L_1 \neq L_2$ sigurno povlači nepostojanje limesa $ L$.

Primjer 3.6  
a)
Za funkciju iz primjera 3.4 vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\lim_{y\to 0}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right)$ $\displaystyle =\lim_{x\to 0}0=0,$    
$\displaystyle \lim_{y\to 0}\left(\lim_{x\to 0}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right)$ $\displaystyle =\lim_{y\to 0}0=0.$    

b)
Za funkciju iz primjera 3.5 vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\lim_{y\to 0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)$ $\displaystyle = \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2}=1,$    
$\displaystyle \lim_{y\to 0}\left(\lim_{x\to 0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)$ $\displaystyle = \lim_{y\to 0}\frac{-y^2}{y^2}=-1.$    


previous up next
Natrag: Definicija Gore: FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI   Naprijed: Neprekidnost