×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Racionalne funkcije trigonometrijskih funkcija     Racionalne funkcije trigonometrijskih funkcija     Jednostavnije supstitucije


Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

$\displaystyle t=\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{x}{2}$ (1.4)

vrijedi za $ x/2\in(-\pi/2,\pi/2)$ , odnosno za $ x\in(-\pi,\pi)$ . Dakle,

$\displaystyle x=2\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits t
$

pa je

$\displaystyle   dx=\frac{2}{1+t^2}  dt.
$

Adicijski teorem (vidi [*]M1, poglavlje 4.6.5) daje

$\displaystyle \sin x=2 \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=2 \frac{\sin \frac{x}{2}}
{\cos \frac{x}{2}}\cos^2 \frac{x}{2}=2 t \cos^2 \frac{x}{2},
$

a osnovni trigonometrijski identitet daje

$\displaystyle \cos^2 \frac{x}{2}\bigg( 1+\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}
{\cos^2 \frac{x}{2}}\bigg) = 1,
$

odnosno

$\displaystyle \cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1}{1+t^2}.
$

Dakle,

$\displaystyle \sin x$ $\displaystyle =\frac{2 t}{1+t^2},$    
$\displaystyle \cos x$ $\displaystyle =\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2} = \cos^2\frac{x}{2}\left(1-\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^2\frac{x}{2}\right) =\frac{1-t^2}{1+t^2}.$    

Opisana supstitucija vrijedi za $ x\in(-\pi,\pi)$ , a za ostala područja je potrebno izvršiti odgovarajuće prilagodbe formula. Potreba za takvim modifikacijama često se javlja kod određenog integrala, u kojem granice integracije određuju područje na kojem supstitucija mora vrijediti. Slična napomena vrijedi i za ostale trigonometrijske supstitucije.

Primjer 1.8   Vrijedi

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int\frac{  dx}{(2+\cos x)\sin x}=\big\{ t=\mathop{\mathrm{tg}}...
...+t^2}  dt}{\displaystyle \bigg(2+\frac{1-t^2}{1+t^2}\bigg) \frac{2 t}{1+t^2}}$    
  $\displaystyle =\int \frac{1+t^2}{(3+t^2) t}  dt.$    

Brojnik i nazivnik nemaju zajedničkih nul-točaka, a stupanj brojnika je manji od stupnja nazivnika. Rastavljanje na parcijalne razlomke daje

$\displaystyle \frac{1+t^2}{(3+t^2)t}=\frac{A}{t}+\frac{B t+C}{3+t^2}.
$

Množenje ove jednakosti s nazivnikom, izjednačavanje koeficijenata uz potencije od $ t$ i rješavanje tako dobivenog sustava linearnih jednadžbi daje

$\displaystyle A=\frac{1}{3},\qquad B=\frac{2}{3}, \qquad C=0.
$

Dakle,

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \frac{1}{3}\int \frac{  dt}{t} +\frac{2}{3}\int \frac{t  dt}{3+t^2} =\bigg\{ \begin{aligned}3+t^2=u 2 t  dt=  du\end{aligned}\bigg\}$    
  $\displaystyle = \frac{1}{3} \ln\vert t\vert+\frac{1}{3}\ln\vert u\vert+C = \fra...
...rt + \frac{1}{3} \ln \big(3+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^2\frac{x}{2}\big)+C.$    


Racionalne funkcije trigonometrijskih funkcija     Racionalne funkcije trigonometrijskih funkcija     Jednostavnije supstitucije