×   HOME
SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULJNI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI
SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULNJI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI
NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika3
Glatka ploha     PLOŠNI INTEGRALI     Plošni integral vektorskog polja


Plošni integral skalarnog polja

Definicija 3.3   Neka je $ f:D'\to \mathbb{R}$ skalarno polje, gdje je $ D'\subseteq \mathbb{R}^3$ otvoren skup. Neka je $ S$ ploha sadržana u $ D'$ zadana funkcijom

$\displaystyle z=g(x,y),\qquad (x,y)\in D\subseteq \mathbb{R}^2, $

gdje je $ D$ zatvoren skup omeđen s po djelovima glatkom krivuljom. Plošni integral skalarnog polja $ f$ po plohi $ S$ je broj

$\displaystyle \iint\limits_S f(x,y,z)\, dS= \iint\limits_D f(x,y,g(x,y))\, \sq... ... + \left(\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}\right)^2 }\, \, dx\, dy. $

Plošni integral skalarnog polja još zovemo i integral po projekciji i plošni integral prve vrste.

Plošni integral skalarnog polja po po djelovima glatkoj plohi $ S$ sastavljenoj od ploha $ S_1,\ldots,S_k$ definiramo kao

$\displaystyle \iint\limits_S f \, dS = \iint\limits_{S_1} f \, dS + \iint\limits_{S_2} f \, dS + \cdots + \iint\limits_{S_k} f \, dS. $

Ako je $ f$ površinska gustoća plohe $ S$ , onda $ \iint\limits_S f \, dS$ daje masu plohe. Ako stavimo $ f=1$ , onda $ \iint\limits_S \, dS$ daje površinu plohe kao što smo već vidjeli.

Bez dokaza navodimo sljedeće tvrdnje:

i)
plošni integral skalarnog polja ne ovisi ni o parametrizaciji plohe niti o njenoj orijentaciji (vidi poglavlje 3.3),
ii)
plošni integral skalarnog polja je linearan, odnosno

$\displaystyle \iint\limits_S (\lambda \, f+\mu\, g) \, dS = \lambda \iint\limits_{S} f \, dS + \mu \iint\limits_{S} g\, dS. $

Primjer 3.1   Izračunajmo

$\displaystyle I=\iint\limits_S (x+y+z)\, dS, $

gdje je $ S$ dio središnje jedinične sfere u prvom oktantu. Ploha $ S$ prikazana je na slici 3.5.

Slika 3.5: Dio središnje jedinične sfere
\begin{figure}\centering \epsfig{file=slike/P5.eps, width=6cm} \end{figure}

Plohu možemo opisati s

$\displaystyle S=\{ (x,y,z)\ \vert \ 0\leq x\leq 1, \ 0\leq y\leq \sqrt{1-x^2},\ z=\sqrt{1-x^2-y^2}\, \}. $

Dakle, područje $ D\subseteq \mathbb{R}^2$ opisano je s

$\displaystyle D=\{ (x,y)\ \vert \ 0\leq x\leq 1, \ 0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}\, \}, $

dok je $ g(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$ . Iz

$\displaystyle \frac{\partial g(x,y)}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}, \qquad \frac{\partial g(x,y)}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} $

slijedi

$\displaystyle 1+\left(\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left(\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}\right)^2 =\frac{1}{1-x^2-y^2} $

pa je

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int\limits_0^1\int\limits_0^{\sqrt{1-x^2}} (x+y+\sqrt{1-x^2-y^2})\, \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\, dy\, dx$    
  $\displaystyle =\left\{ \begin{array}{ll}x=r\cos \varphi ,&\varphi \in[0,\pi/2] \\ y=r\sin\varphi ,&r\in[0,1] \end{array}\right\}$    
  $\displaystyle =\int\limits_0^{\pi/2} \int\limits_0^1 (r\cos\varphi +r\sin\varphi +\sqrt{1-r^2}\,)\, \frac{r\, dr}{\sqrt{1-r^2}} \, d\varphi$    
  $\displaystyle =\int\limits_0^{\pi/2} (\cos\varphi +\sin\varphi )\, d\varphi \cd... ...rt{1-r^2}}\, dr+ \int\limits_0^{\pi/2}\, d\varphi \int\limits_0^1 r\, dr=\cdots$    
  $\displaystyle =\frac{3}{4}\, \pi.$    

Glatka ploha     PLOŠNI INTEGRALI     Plošni integral vektorskog polja