×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULJNI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

PODSJETNIK

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULNJI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika3 PLOŠNI INTEGRALI     PLOŠNI INTEGRALI     Plošni integral skalarnog polja

Glatka ploha

Definicija 3.1   Skup $S\subseteq \mathbb{R}^3$ je ploha ako za svaku točku $T_0\in S$ postoji otvorena okolina te točke $V$ , otvoreni skup $U\subseteq\mathbb{R}^2$ , neprekidna funkcija $g:U\to R$ i (pravokutni) koordinatni sustav $(O,\mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k})$ u $\mathbb{R}^3$ takvi da je u tom sustavu

$$z=g(x,y),\qquad (x,y)\in U,$$

jednadžba skupa $V\cap S$ .

Ploha $S$ je glatka u točki $T_0$ ako je funkcija $g$ diferencijabilna u točki $(x_0,y_0)$ , pri čemu je $z_0=g(x_0,y_0)$ i $T_0=(x_0,y_0,z_0)$ .

Ploha $S$ je glatka ploha ako je glatka u svakoj točki.

Parametrizacija plohe iz definicije 3.1 prikazana je na slici 3.1.

Slika 3.1: Parametrizacija plohe

Važno je primjetiti da ne mora za svaku točku na plohi biti zadan isti sustav. Tako je, na primjer, na slici 3.2 za točku $T_0$ funkcija $g$ zadana u sustavu $(O,\mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k})$ , dok je za točku $T_1$ funkcija $g$ zadana u sustavu $(O,\mathbf{k},\mathbf{i}, \mathbf{j})$ .

Slika 3.2: Ploha parametrizirana s dva sustava

Plohe možemo zadati na razne načine. Ako je čitava ploha $S$ zadana jednom funkcijom $g:D\to \mathbb{R}$ , gdje je $D\subseteq \mathbb{R}^2$ , kažemo da je

$$z=g(x,y),\qquad (x,y)\in D,$$

eksplicitna jednadžba plohe.

Na primjer, za $D=\mathbb{R}^2$ i $g(x,y)=x^2-y^2$ je $z=x^2-y^2$ implicitna jednadžba hiperboličkog paraboloida (vidi [M2, poglavlje 3.4.2]).

Ako je skup $D\subseteq \mathbb{R}^3$ otvoren i ako je funkcija $G:D\to R$ derivabilna te je $\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits G(T)\neq \mathbf{0}$ za svaku točku $T\in D$ , onda je

$$G(x,y,z)=0$$

implicitna jednadžba plohe

$$S=\{(x,y,z)\in D \ \vert \ G(x,y,z)=0\}.$$

Ploha $S$ je očito glatka, a normala tangencijalne ravnine u točki $T$ dana je vektorom $\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits G(T)$ (vidi napomenu 1.4).

Na primjer, za $D=\mathbb{R}^3$ i $G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$ je $x^2+y^2+z^2=1$ implicitna jednadžba plašta jedinične kugle. Očito je

$$\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits G(T)= 2\, x\, \mathbf{i}+2\, y\, \mathbf{j}+2\, z\, \mathbf{k} \neq \mathbf{0}$$

u svakoj točki $T$ koja se nalazi na plohi.

Plohu možemo zadati i parametarski:

$$x=\varphi(u,v), \quad y=\psi(u,v), \quad z=\xi(u,v),\qquad (u,v)\in D\subseteq\mathbb{R}^2.$$

Na primjer, eksplicitno zadana ploha je specijalan slučaj parametarski zadane plohe uz

$$x=u,\quad y=v,\quad z=g(u,v).$$

Parametarsko zadavanje ploha je najuniverzalniji način zadavanja ploha. Tako, na primjer, elipsoid zadajemo s [M2, poglavlje 3.4]

$$x =6\, \cos u\cos v,$$

$$y =4\sin u\cos v,\qquad u\in[0,2\,\pi], \ v\in[-\pi/2,\pi/2],$$

$$z =2\sin v,$$

torus zadajemo s

$$x =(1-0.2 \cos v )\cos u,$$

$$y =(1-0.2 \cos v)\sin u, \qquad u,v\in [0,2\,\pi],$$

$$z =0.2\sin v,$$

heksagon zadajemo s

$$x =\cos^3 v \cos^3 u,$$

$$y =\sin^3 v \cos^3 u, \qquad u\in[-1.3,1.3],\ v\in [0,2\,\pi],$$

$$z =\sin^3 u,$$

a školjku zadajemo s

$$x =u \cos u \left(1+\displaystyle \frac{\cos v}{2}\right), \qquad u,v\in [0,2\,\pi],$$

$$y =\displaystyle \frac{u}{2}\sin v,$$

$$z =u\sin u \left(1+\displaystyle \frac{\cos v}{2}\right).$$

Zadatak 3.1   Nacrtajte elipsoid, torus, heksagon i školjku pomoću programa NetPlot koristeći redom izraze

   6*cos(u)*cos(v), 4*sin(u)*cos(v), 2*sin(v)
   (1-0.2*cos(v))*cos(u), (1-0.2*cos(v))*sin(u), 0.2*sin(v)
   cos(v)**3*cos(u)**3, sin(v)**3*cos(u)**3, sin(u)**3
   cos(u)*u*(1+cos(v)/2), sin(v)*u/2, sin(u)*u*(1+cos(v)/2)

Pri tome za svaku plohu odaberite odgovarajuće granice za parametre $u$ i $v$ .

Parametarsku vektorsku jednadžbu plohe $S$ dobijemo kada plohu zadamo kao hodograf vektorske funkcije:

$$\mathbf{r}(u,v)= \varphi(u,v)\, \mathbf{i}+\psi(u,v)\, \mathbf{j}+ \xi(u,v)\,\mathbf{k}, \quad (u,v)\in D\subseteq \mathbb{R}^2.$$

Ako se ploha $S$ sastoji od konačno glatkih ploha, a na spojnim krivuljama ne postoje tangencijalne ravnine, kažemo da je $S$ po dijelovima glatka ploha. Skup svih točka u kojima ne postoji tangncijalna tavnina ima površinu nula pa ga kod računanja integrala možemo zanemariti. Na primjer, ploha na slici 3.3 sastoji se od četiri glatke plohe, $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ i $S_4$ .

Slika 3.3: Po dijelovima glatka ploha

Sada možemo definirati površinu plohe.

Definicija 3.2   Neka je $g:D'\to \mathbb{R}$ diferencijabilna funkcija, gdje je $D'\subseteq \mathbb{R}^2$ otvoren skup, i neka je $D\subset D'$ skup koji je zatvoren i omeđen po djelovima glatkom krivuljom. Ako se ploha $S$ ortogonalno projicira na skup $D$ te je pri tome zadana jednadžbom

$$z=g(x,y),\qquad (x,y)\in D,$$

onda je površina plohe $S$ definirana kao

$$P(S)=\iint\limits_D \sqrt{1+\left(\displaystyle \frac{\partial g}... ...frac{\partial g}{\partial y}\right)^2 } \, dx\, dy\equiv \iint\limits_D \, dS.$$

U prethodnoj definiciji izraz $dS$ je element površine, dakle, površina je jednaka "beskonačnom zbroju" (integral) beskonačno malih elemenata površine. Objasnimo formulu ze element površine $dS$ pomoću slike 3.4.

Slika 3.4: Element površine plohe

Dio plohe $S$ koji se projicira na pravokutnik

$$(x_0,y_0), \quad (x_0+\, dx, y_0),\quad (x_0+\, dx,y_0+\, dy), \quad (x_0,y_0+\, dy)$$

aproksimiramo paralelogramom koji leži u tangencijalnoj ravnini plohe $S$ u točki $(x_0,y_0,g(x_0,y_0))$ , a projicira se na taj pravokutnik. Jednadžba tangencijalne ravnine glasi [M2, poglavlje 3.7]

$$z-g(x_0,y_0)=\frac{\partial g(x_0,y_0)}{\partial x}\, (x-x_0)+ \frac{\partial g(x_0,y_0)}{\partial y}\, (y-y_0).$$

Vrhovi paralelograma su

$$T_1 =(x_0,\ y_0,\ g(x_0,y_0)\,),$$

$$T_2 =\left(x_0+\, dx,\ y_0,\ g(x_0,y_0)+\displaystyle \frac{\partial g(x_0,y_0)}{\partial x}\, dx\right)$$

$$T_3 =\left(x_0+\, dx,\ y_0+\, dy,\ g(x_0,y_0)+\displaystyle \frac{\pa... ...ial x}\, dx + \displaystyle \frac{\partial g(x_0,y_0)}{\partial y}\, dy \right)$$

$$T_4 =\left(x_0,\ y_0+\, dy,\ g(x_0,y_0) + \displaystyle \frac{\partial g(x_0,y_0)}{\partial y}\, dy \right).$$

Površina paralelograma je [M1, poglavlje 3.10]

$$dS \approx \vert\overrightarrow{T_1 T_2}\times\overrightarrow{T_1 T_... ...& \displaystyle \frac{\partial g(x_0,y_0)}{\partial y}\, dy \end{vmatrix} \vert$$

$$=\left\vert \, \mathbf{i}\, \left( -\displaystyle \frac{\partial ... ...0,y_0)}{\partial y}\, dx\, dy\right) + \mathbf{k} \, (\, dx\, dy)\, \right\vert$$

$$=\, dx\, dy\, \sqrt{\left( \displaystyle \frac{\partial g(x_0,y_0... ...^2 + \left( \displaystyle \frac{\partial g(x_0,y_0)}{\partial y}\right)^2 + 1},$$

a površina plohe je suma svih $dS$ , odnosno

$$P(S)=\iint\limits_D\, dS.$$

Ako je funkcija $g(x,y)$ implicitno zadana jednadžbom $G(x,y,z)=0$ , onda iz [M2, poglavlje 3.11, napomena 3.12]

$$\frac{\partial g}{\partial x} =-\frac{\displaystyle \frac{\partia... ... \frac{\partial G}{\partial y}} {\displaystyle \frac{\partial G}{\partial z}}$$

slijedi

$$P(S)=\iint\limits_D \frac{1}{\left\vert\displaystyle \frac{\parti... ...al y}\right)^2 + \left(\frac{\partial G}{\partial z}\right)^2 } \, \, dx\, dy.$$

PLOŠNI INTEGRALI     PLOŠNI INTEGRALI     Plošni integral skalarnog polja