×   HOME NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika3
Potencijal     KRIVULJNI INTEGRALI     PLOŠNI INTEGRALI


Greenova formula

Sljedeći teorem je poopćenje Newton-Leibnitzove formule [M2, poglavlje 2.2] na dvodimenzionalni slučaj.

Teorem 2.2   [Green] Neka su

$\displaystyle P,Q:\mathcal{S}\to \mathbb{R}
$

dvije diferencijabilne funkcije, pri čemu je $ \mathcal{S}$ otvoren skup (bez ruba). Neka je $ \overrightarrow{C}\subseteq \mathcal{D}$ pozitivno orijentirana po djelovima glatka krivulja i neka je $ D$ unija krivulje $ \overrightarrow{C}$ i unurašnjeg područja kojeg ta krivulja omeđuje (vidi sliku 2.9). Tada je

$\displaystyle \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial
y}\right)\, dx\, dy=
\oint\limits_{\overrightarrow{C}}P\, dx+Q\, dy.
$

Slika 2.9: Zatvoreni skup $ D$
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/zpo.eps, width=8cm}
\end{figure}

Greenov teorem vrijedi i u području s "rupama" (slika 2.10), pri čemu sve krivulje $ \overrightarrow{C}_i$ moraju biti negativno orijentirane:

$\displaystyle \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\...
...P\, dx+Q\, dy+ \sum_{i=1}^k
\oint\limits_{\overrightarrow{C}_i}P\, dx+Q\, dy.
$

Slika 2.10: Područje s više zatvorenih krivulja
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/zpr.eps, width=7cm}
\end{figure}

Primjer 2.7   Izračunajmo

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{C}} 2\, (x^2+y^2)\, dx+(x+y)^2\, dy,
$

gdje je $ \overrightarrow{C}$ rub trokuta s vrhovima $ A=(1,1)$ , $ B=(2,2)$ i $ C=(1,3)$ (slika 2.11).

Slika 2.11: Primjena Greenovog teorema
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/tro.eps, width=5cm}
\end{figure}

Prema Greenovom teoremu vrijedi

$\displaystyle I=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}...
...nt\limits_1^2\int\limits_x^{-x+4} (\, 2\,(x+y)-4\,y)\, dy\, dx
=-\frac{4}{3}.
$

Zadatak 2.1   Izračunajte cirkulaciju iz primjera 2.7 bez primjene Greenovog teorema.

Korolar 2.1   Ako su ispunjeni uvjeti Greenovog teorema, onda je površina područja $ D$ dana s

$\displaystyle P(D)=\frac{1}{2} \oint\limits_{\overrightarrow{C}} -y\, dx+x\, dy.
$

Dokaz.
Korolar slijedi direktno iz Greenovog teorema.     
Q.E.D.

Greenovu formulu možemo još pisati i kao

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{C}}P\, dx+Q\, dy= \oint\limits \mat...
...\iint_D \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w} \cdot
\mathbf{k} \, dx\, dy.
$


Potencijal     KRIVULJNI INTEGRALI     PLOŠNI INTEGRALI