×   HOME NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika3
Krivuljni integral vektorskog polja     Krivuljni integral vektorskog polja     Potencijal


Cirkulacija

Definicija 2.3   Krivuljni integral vektorskog polja po zatvorenoj po djelovima glatkoj krivulji $ \overrightarrow{C}$ zove se cirkulacija vektorskog polja i označava se sa

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \, d\mathbf{r}.
$

Primjer 2.5   Izračunajmo cirkulaciju ravninskog vektorskog polja $ \mathbf{w}=x\, \mathbf{i} + x\,
y\, \mathbf{j}$ po
a)
središnjoj kružnici radijusa $ a$ priozvoljne orjentacije,
b)
rubu trokuta $ O=(0,0)$ , $ A=(2,0)$ , $ B=(1,1)$ orjentiranom u pozitivnom smislu.

Kružnica iz točke a) prikazana je na slici 2.6.

Slika 2.6: Pozitivno orijentirana kružnica
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/pkr.eps, width=6cm}
\end{figure}

Jedna parametrizacija kružnice glasi

$\displaystyle \overrightarrow{C}\ \ldots \ \left\{\begin{array}{l} x=a\cos t, \\ y=a\sin t,
\end{array}\right. \qquad t\in[0,2\,\pi]
$

pa vrijedi

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \, d\mathbf{r}$ $\displaystyle = \oint\limits_{\overrightarrow{C}} x\, dx+x\,y\, dy=\int\limits_0^{2\, \pi} (a\cos t\cdot a\, (-\sin t) + a^2\cos t\sin t \cdot a\cos t) \, dt$    
  $\displaystyle =\int\limits_{-\pi}^{\pi} (-a^2\cos t \sin t + a^3\cos^2 t \sin t) \, dt= \dots = 0.$    

Za kružnicu orjentiranu u negativnom smislu zbog promjene orijentacije vrijedi

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \, d\mathbf{r} = -\oint\limits_{\overleftarrow{C}} \mathbf{w} \, d\mathbf{r} = -0=0.
$

Trokut iz točke b) prikazan je na slici 2.7.

Slika 2.7: Pozitivno orijentirani trokut
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/ptr.eps, width=8cm}
\end{figure}

Glatke dijelove krivulje $ \overrightarrow{C}$ parametriziramo na sljedeći način:

  $\displaystyle \overrightarrow{C}_1\ \ldots \ y=0,\qquad x\in[0,2],$    
  $\displaystyle \overrightarrow{C}_2\ \ldots \ y=-x+2,\qquad x\in[2,1] \textrm{ (u smislu pada parametra } t\textrm{)},$    
  $\displaystyle \overrightarrow{C}_3\ \ldots \ y=x,\qquad x\in[1,0] \textrm{ (u smislu pada parametra } t\textrm{)}.$    

Vrijedi

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{C}} \mathbf{w} \, d\mathbf{r}$ $\displaystyle =\oint\limits_{\overrightarrow{C}_1} \mathbf{w} \, d\mathbf{r} + ...
...} \, d\mathbf{r} +\oint\limits_{\overrightarrow{C}_3} \mathbf{w} \, d\mathbf{r}$    
  $\displaystyle =\int\limits_0^2 (x+x\cdot 0\cdot 0)\, dx+\int\limits_2^1 (x+x\, (-x+2)\cdot(-1))\, dx$    
  $\displaystyle \quad + \int\limits_1^0 (x+x\cdot x\cdot 1)\, dx$    
  $\displaystyle =\displaystyle \frac{1}{3}.$    


Krivuljni integral vektorskog polja     Krivuljni integral vektorskog polja     Potencijal