Natrag: Taylorov razvoj trigonometrijske
Gore: NIZOVI I REDOVI
Naprijed: Zadaci za vježbu
Razvijte u Taylorov red funkciju u točki ako je:
- (a)
-
i ,
- (b)
-
i ,
- (c)
-
i ,
- (d)
-
i ,
- (e)
-
i ,
te odredite područje konvergencije dobivenog reda.
Rješenje. Zadane funkcije ćemo razviti u Taylorov red
korištenjem MacLaurinovih razvoja nekih elementarnih funkcija iz
[M1, 6.5], kao što su
- (a)
- Uvrštavanjem izraza umjesto u formulu (6.13), slijedi da je Taylorov red funkcije u točki jednak
Područje konvergencije reda (6.13) je
, pa i dobiveni red konvergira za sve
.
- (b)
- Korištenjem svojstava trigonometrijskih funkcija, dobivamo
pa je primjenom formule (6.13), Taylorov red funkcije u točki jednak
pri čemu red konvergira za sve
.
- (c)
- Trebamo odrediti MacLaurinov razvoj zadane funkcije pa uvrštavanjem redom i u formulu (6.14), slijedi
Jer za svaki
vrijedi
MacLaurinov red funkcije glasi
i konvergira za svaki
.
- (d)
- Zbog svojstava funkcije , slijedi
gdje je
, a
.
Odredimo prvo Taylorov razvoj funkcije oko točke . Prema formuli (6.15), vrijedi
za sve
za koje je
, odnosno za sve
.
Na isti način slijedi
za sve
za koje je
, odnosno za sve
.
Sada iz razvoja funkcija i , dobivamo da je Taylorov razvoj funkcije oko točke jednak
za sve
.
- (e)
- Svođenjem na pravu racionalnu funkciju, a potom rastavljajući na parcijalne razlomke, dobivamo
Dakle, možemo pisati
gdje je
što slijedi iz formule (6.16), redom za izraze i . Nadalje, MacLaurinov red funkcije konvergira za sve
za koje je
, a funkcije za sve
za koje je
. Stoga MacLaurinov red funkcije konvergira za sve
i glasi
Natrag: Taylorov razvoj trigonometrijske
Gore: NIZOVI I REDOVI
Naprijed: Zadaci za vježbu