Konvergencija monotonog i omeđenog niza

Ispitajte konvergenciju niza čiji je opći član

$\displaystyle a_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{2^n}\right).$

Rješenje. Promatrajući prva dva člana zadanog niza dobivamo

$\displaystyle a_1$	$\displaystyle = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2},$
$\displaystyle a_2$	$\displaystyle = \left(1-\frac{1}{2}\right) \left(1-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4},$

odnosno

. Želimo zaključiti da općenito vrijedi $a_n > a_{n+1}$ . Vrijedi

$\displaystyle a_{n+1} = \left(1-\frac{1}{2}\right) \left(1-\frac{1}{4}\right) \... ... \left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right) = a_n \left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right) < a_n,$

jer je

$\displaystyle 1-\frac{1}{2^{n+1}}<1.$

Budući da nejednakost $a_n > a_{n+1}$ vrijedi za svako $n\in \mathbb{N}$ zaključujemo da je niz $\{a_n\}$ strogo padajući. Niz je također omeđen odozdo jer je

za svako $n\in \mathbb{N}$ . Stoga je, prema

[M1, teorem 6.4], zadani niz konvergentan.