Natrag: Primjena MacLaurinovih razvoja Gore: NIZOVI I REDOVI   Naprijed: Rješenja  

Zadaci za vježbu

1. Zadan je niz
   $$a_n=\frac{n-1}{n+1}.$$
   Odredite $a=\lim \limits_{n\to \infty}a_n$, te za $\varepsilon =10^{-4}$ odredite pripadni $n_{\varepsilon}$.

2. Odredite sva gomilišta niza
   $$a_n=\frac{3n^2+2n}{n^2-1}\cdot\frac{1+(-1)^n}{2}+\frac{1-(-1)^n}{n}.$$

3. Zadan je niz
   $$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right) \cos {n\pi}.$$
   Odredite sva gomilišta niza $\{a_n\}$, $\inf a_n$, $\sup a_n$, $\liminf a_n$, $\limsup a_n$.

4. Zadan je niz
   $$\displaystyle a_n=\frac{(1-a)n^2+2n+b}{an^2+n+1}.$$

   Odredite konstante $a$ i $b$ takve da je $$\lim_{n\to\infty} a_n=2$$ i $a_1=0.$

5. Izračunajte limese sljedećih nizova:

   (a)

   $a_n=\displaystyle \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}$,

   (b)

   $a_n=\displaystyle \frac{(n+1)(3^n+1)}{2\cdot 3^n+1}$,

   (c)

   $a_n=\displaystyle \left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n$,

   (d)

   $a_n=\displaystyle \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^{(n+1)}$,

   (e)

   $a_n=\displaystyle \left(\frac{2n}{2n+1}\right)^{n}$.

6. Izračunajte limese sljedećih nizova:

   (a)

   $$a_n=\frac{n+7\sin n}{13-2n}$$,

   (b)

   $$a_n = \frac{2}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{n^2+\frac{1}{2}}}+\cdots +\frac{2}{\sqrt{n^2+\frac{1}{n}}}$$.

7. Izračunajte limese sljedećih nizova:

   (a)

   $$a_n=\frac{n\sin(n!)}{n^2+1}$$,

   (b)

   $$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\cos\left(n+\frac{1}{n}\right)$$.

8. Izračunajte limese sljedećih nizova:

   (a)

   $a_n=\displaystyle \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k$,

   (b)

   $a_n=\displaystyle \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2$,

   (c)

   $a_n=\displaystyle \frac{1}{n^3}\sum \limits_{j=1}^{n} \sum \limits_{i=1}^{j} i$,

9. Izračunajte limes niza
   $$a_n=\displaystyle \prod_{k=2}^n \frac{k^2+k-2}{k(k+1)}.$$

10. Izračunajte limes niza
    $$a_n=\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}\ln\left(1-\frac{1}{k^2}\right).$$

11. Zadani su nizovi
    $$a_n=\frac{cn^2+1}{(c+3)n^2+cn+4}\quad\textrm{ i}$$
    $$b_n=\frac{1}{c(c+1)}+\frac{1}{(c+1)(c+2)}+\cdots+ \frac{1}{(c+n-1)(c+n)}.$$
    Odredite parametar $c>0$ takav da je $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=4.$$

12. Izračunajte sumu reda
    $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \log \left(1+\frac{1}{n}\right).$$

13. Izračunajte sumu reda
    $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)}.$$

14. Izračunajte sumu reda
    $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}.$$

15. Izračunajte sumu reda
    $$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\frac{1}{7\cdot9}+\cdots.$$

16. Poredbenim kriterijem ispitajte konvergenciju sljedećih redova:

    (a)

    $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\sin na}}$$,

    (b)

    $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\log\left(1+\frac{1}{n}\right)$$.

17. D'Alembertovim kriterijem ispitajte konvergenciju sljedećih redova:

    (a)

    $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{10^n}$$,

    (b)

    $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2-5}{n 2^n}$$.

18. Cauchyjevim kriterijem ispitajte konvergenciju sljedećih redova:

    (a)

    $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{2^n\cdot\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits ^n{n}}$$,

    (b)

    $$\sum_{n=1}^{\infty} n^n\sin{\frac{2}{n}}$$.

19. Ispitajte konvergenciju sljedećih redova:

    (a)

    $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(n!)^2}$$,

    (b)

    $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!}{2\cdot4\cdot6\cdots2n}$$,

    (c)

    $$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n(n!)^2}{n^{2n}}$$,

    (d)

    $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{\frac{n}{2}}\cdot(2n)^{n+1}}{n!}$$,

    (e)

    $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n}$$,

    (f)

    $$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{n+\sqrt{n}}\right)^{n(1+\sqrt{n})}$$,

    (g)

    $$\sum_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\right]^{n^2}$$,

    (h)

    $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n\cdot n^{2n}} { n+1 \choose n}^{2n}$$.

20. Ispitajte konvergenciju reda
    $$1+\frac{1}{a}+\frac{2^b}{a^2}+\frac{3^b}{a^3}+\cdots+\frac{n^b}{a^n}+\cdots,$$
    u ovisnosti o parametrima $a, b>0$.

21. Raabeovim kriterijem ispitajte konvergenciju sljedećih redova:

    (a)

    $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n (n!)^2}{(2n)!}$$,

    (b)

    $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!}{\left(2\cdot4\cdot6\cdots2n\right)^2}$$.

22. Ispitajte konvergenciju reda
    $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{(a+1)(a+2)(a+3)\cdots(a+n)},$$
    u ovisnosti o parametru $a>0$.

23. Ispitajte konvergenciju sljedećih redova:

    (a)

    $$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\cdots$$,

    (b)

    $$\sin{1}+\frac{\sin{2}}{2^2}+\frac{\sin{3}}{3^2}+\cdots+\frac{\sin{n}}{n^2}+\cdots$$.

24. Leibnizovim kriterijem ispitajte konvergenciju sljedećih redova:

    (a)

    $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$$,

    (b)

    $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)$$,

    (c)

    $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(\ln{n})^n}$$.

25. Odredite područje konvergencije i ispitajte ponašanje na rubu područja konvergencije sljedećih redova:

    (a)

    $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$,

    (b)

    $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{(x+1)^{2n+1}}{n^2}$$,

    (c)

    $$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{\sqrt{n^2+1}}$$,

    (d)

    $$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{n\cdot 10^n}$$,

    (e)

    $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{3^{n}}{n\cdot (x-5)^n}$$,

    (f)

    $$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-x^2+3x+2)^n}{n\cdot 2^n}$$.

26. Odredite područje konvergencije reda
    $$(x-1)+\frac{2!(x-1)^2}{2^2}+\cdots+\frac{n!(x-1)^n}{n^n}+\cdots.$$

27. Razvijte u MacLaurinov red funkciju

    (a)

    $$f(x)=\frac{2}{1+2x}$$,

    (b)

    $$f(x)=\frac{x^2}{1-x}$$,

    (c)

    $$f(x)=\frac{x^2+1}{2+x}$$,

    (d)

    $$f(x)=\frac{7}{(3x+2)(2x-1)}$$.

    i odredite područje konvergencije dobivenog reda.

28. Razvijte u Taylorov red funkciju $f$ u točki $x_0$ ako je:

    (a)

    $$f(x)=\frac{1}{3-2x}$$ i $x_0=1$,

    (b)

    $$f(x)=e^{2x-6}$$ i $x_0=3$,

    (c)

    $$f(x)=\ln\sqrt{x-1}$$ i $x_0=2$,

    (d)

    $$f(x)=\ln\frac{2+x}{3+2x}$$ i $x_0=-1$,

    (e)

    $$f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)$$ i $x_0=\displaystyle\frac{\pi}{2}$,

    te odredite područje konvergencije dobivenog reda.

29. Uz pomoć MacLaurinovog razvoja funkcije $f(x)=e^x$ izračunajte sumu reda

    $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n\cdot n!}.$$

    
    

30. Razvijte u Taylorov red u točki $x_0=-1$ funkciju $$f(x)=\ln\frac{1}{\left(\frac{1}{3}x+2\right)^4}$$, odredite područje konvergencije dobivenog reda i izračunajte sumu reda

    $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots.$$

    
    

Natrag: Primjena MacLaurinovih razvoja Gore: NIZOVI I REDOVI   Naprijed: Rješenja