×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Zadaci za vježbu     NIZOVI I REDOVI    


Rješenja

1.
$ a=1$ , $ n_{\varepsilon}=20000$ .

2.
Gomilišta niza su 0 i 3.

3.
Gomilišta niza su -1 i 1, $ \inf a_n=-2$ , $ \sup a_n=\displaystyle\frac{3}{2}$ , $ \liminf a_n=-1$ , $ \limsup a_n=1$ .

4.
$ \displaystyle a=\frac{1}{3}$ , $ b=-\frac{8}{3}$ .

5.
a)
$ 3$ ,

b)
$ +\infty$ ,

c)
$ e^2$ ,

d)
$ e$ ,

e)
$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}$ .

6.
a)
$ \displaystyle -\frac{1}{2}$ ,

b)
$ 2$ .

7.
a)
0 ,

b)
0 .

8.
a)
$ \displaystyle\frac{1}{2}$ ,

b)
$ \displaystyle\frac{1}{3}$ ,

c)
$ \displaystyle\frac{1}{6}$ .

9.
$ \displaystyle\frac{2}{3}$ .

10.
$ -\ln{2}$ .

11.
$ c=6$ .

12.
$ \displaystyle\frac{1}{6}$ .

13.
$ \displaystyle\frac{11}{18}$ .

14.
$ \displaystyle\frac{1}{4}$ .

15.
$ \displaystyle\frac{1}{3}$ .

16.
a)
$ \displaystyle a_n>\frac{1}{n} \textrm{ i }
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\textrm{ divergira}
\Rightarrow\textrm{ red divergira}$ ,

b)
$ \displaystyle a_n<\frac{1}{n^2} \textrm{ i }
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\textrm{ konvergira}
\Rightarrow\textrm{ red konvergira}$ .

17.
a)
$ \displaystyle
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=+\infty \Rightarrow\textrm{ red divergira}$ ,

b)
$ \displaystyle
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\displaystyle\frac{1}{2} \Rightarrow\textrm{ red konvergira}$ .

18.
a)
$ \displaystyle
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\displaystyle\frac{3}{\pi} \Rightarrow\textrm{ red konvergira}$ ,

b)
$ \displaystyle
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=+\infty \Rightarrow\textrm{ red divergira}$ .

19.
a)
$ \displaystyle
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0\Rightarrow\textrm{ red konvergira}$ ,

b)
$ \displaystyle
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=+\infty \Rightarrow\textrm{ red divergira}$ ,

c)
$ \displaystyle
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2}{e^2}\Rightarrow\textrm{ red konvergira}$ ,

d)
$ \displaystyle
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0\Rightarrow\textrm{ red konvergira}$ ,

e)
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=0 \Rightarrow\textrm{ red konvergira}$ ,

f)
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{e} \Rightarrow\textrm{ red konvergira}$ ,

g)
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=e^2 \Rightarrow\textrm{ red divergira}$ ,

h)
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}\Rightarrow\textrm{ red konvergira}$ .

20.
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{a}\Rightarrow\textrm{red konvergira za } a>1, \textrm{divergira za } a<1$ .

Za $ a=1$ je $ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty$ pa red divergira.

21.
a)
$ \displaystyle
\lim_{n\to\infty} n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow\textrm{ red divergira}$ ,

b)
$ \displaystyle
\lim_{n\to\infty} n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=\frac{3}{2}\Rightarrow\textrm{ red konvergira}$ .

22.
$ \displaystyle
\lim_{n\to\infty} n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=a\Rightarrow\textrm{red konvergira za } a>1, \textrm{divergira za } a<1$ .

Za $ a=1$ je $ \displaystyle a_n=\frac{1}{n+1}$ pa red divergira.

23.
a)
$ \displaystyle
\sum_{n=0}^{\infty}\vert a_n\vert=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n $ je geometrijski red za $ q=\frac{1}{2}<1
\Rightarrow $ red apsolutno konvergira $ \Rightarrow$ red konvergira,

b)
$ \displaystyle \vert a_n\vert\leq\frac{1}{n^2}\,$ i $ \sum_{n =1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ konvergira $ \Rightarrow$ red apsolutno konvergira $ \Rightarrow$ red konvergira.

24.
Prema Leibnizovom kriteriju redovi konvergiraju.

25.
a)
$ \mathbb{R}$ ,

b)
$ [-2,0]$ ,

c)
$ \langle 1-e,1+e\rangle$ ,

d)
$ [-1,1\rangle$ ,

e)
$ [-10,10\rangle$ ,

f)
$ \langle -\infty,2\rangle\cup[8,+\infty\rangle$ ,

g)
$ \langle -1,0\rangle\cup\langle3,4\rangle$ .

26.
$ \langle 1-e,1+e\rangle$ .

27.
a)
$ \displaystyle
\frac{2}{1+2x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}2^{n+1}x^n$ , $ x\in
\left\langle-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle$ ,

b)
$ \displaystyle
\frac{x^2}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n+2}$ , $ x\in\langle -1,1\rangle$ ,

c)
$ \displaystyle \frac{x^2+1}{2+x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x+ 5 \sum
\limits_{n=2}^{\infty}\left(-1\right)^n\frac{x^n}{2^{n+1}}$ , $ x\in \langle-2,2\rangle$ ,

d)
$ \displaystyle \frac{7}{(3x+2)(2x-1)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left[\left(-\frac{3}{2}\right)^{n+1}-2^{n+1}\right]x^n$ , $ x\in \left\langle-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$

28.
a)
$ \displaystyle
\frac{1}{3-2x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{n}(x-1)^n$ , $ x\in\left\langle\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right\rangle$ ,

b)
$ \displaystyle
e^{2x-6}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^n(x-3)^n}{n!}$ , $ x\in \mathbb{R}$ ,

c)
$ \displaystyle
\ln\sqrt{x-1}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-2)^n}{n}$ , $ x\in\langle 1,3]$ ,

d)
$ \displaystyle
\ln\frac{2+x}{3+2x}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(1-2^n)\frac{(x+1)^n}{n}$ , $ x\in\left\langle-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right]$ ,

e)
$ \displaystyle \sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n}}{(2n)!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2n}$ , $ x\in \mathbb{R}$ .

29.
$ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n\cdot n!}=\sqrt{e}$ .

30.
$ \displaystyle \ln\frac{1}{\left(\frac{1}{3}x+2\right)^4}=4\ln\frac{3}{5}+4\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n\,5^n}(x+1)^n$ , $ x\in \langle-6,4]$ , $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln2$ .


Zadaci za vježbu     NIZOVI I REDOVI