Natrag:
Ravnina
 
Gore:
VEKTORSKA ALGEBRA I
 
Naprijed:
Primjeri
 
 Primjene 
++++++++++


Pomoću vektora i operacija s njima te pomoću raznih oblika jednadžbi
pravca i ravnine možemo ispitivati čitav niz međuodnosa i svojstava:

    a)
        Međusobni odnosi pravaca i ravnina.
    1.
        Pravci i su paralelni , , ako za njihove vektore smjera vrijedi
        , . Paralelni pravci mogu, ali ne moraju ležati jedan na drugom.
    2.
        Pravci i su okomiti , , ako za njihove vektore smjera vrijedi .
        Okomiti pravci se mogu sjeći, ali mogu biti i mimosmjerni.
    3.
        Ravnine i su paralelne , , ako za njihove normale vrijedi , .
        Paralelne ravnine mogu, ali ne moraju ležati jedna na drugoj.
    4.
        Ravnine i su okomite , , ako za njihove normale vrijedi .
        Okomite ravnine se sijeku u pravcu.
    5.
        Kut između pravaca i nalazimo pomoću skalarnog produkta vektora
        smjera,
    6.
        Kut između ravnina i nalazimo pomoću skalranog produkta normala,
    7.
        Kut između pravca i ravnine nalazimo pomoću skalranog produkta
        vektora smjera i normale
    b)
        Sjecišta.
    1.
        Točka u kojoj se sijeku pravci i , .
    2.
        Pravac koji je presjek ravnina i , .
    3.
        Točka u kojoj pravac siječe ravninu , : sjecište tražimo tako da
        parametarsku jednadžbu pravca uvrstimo u opći oblik jednadžbe
        ravnine i riješimo linearni sustav od jedne jednadžbe s jednom
        nepoznanicom (primjer 3.12 ).
    c)
        Projekcije.
    1.
        Projekcija točke na pravac (primjer 3.13 ).
    2.
        Projekcija točke na ravninu (primjer 3.14 ).
    3.
        Projekcija pravca na ravninu . Najčešće tražimo ortogonalne
        projekcije , ali možemo tražiti i projekcije u bilo kojem
        smjeru.
    d)
        Udaljenosti.
    1.
        Udaljenost točaka i : iz postupka nalaženja komponenata vektora
        u primjeru 3.2 i formule za duljinu vektora ( 3.1 ) slijedi
    2.
        Udaljenost točke od pravca : prvo nađemo projekciju točke na
        pravac , a onda izračunamo (primjer 3.13 ).
    3.
        Udaljenost točke od ravnine : prvo nađemo projekciju točke na
        ravninu , a onda izračunamo (primjer 3.14 ).
    4.
        Udaljenost pravaca i , .
    5.
        Udaljenost ravnina i , .
    6.
        Udaljenost pravca i ravnine , .
    e)
        Analiza trokuta.
    1.
        Težište - sjecište težišnica, odnosno pravaca koji spajaju vrh
        trokuta sa sredinom nasuprotne stranice.
    2.
        Upisana kružnica - središte je sjecište simetrala kutova,
        odnosno pravaca koji raspolovljuju unutarnje kutove trokuta, a
        radijus je udaljenost središta od bilo koje stranice.
    3.
        Opisana kružnica - središte je sjecište simetrala stranica,
        odnosno okomica podignutih od sredine stranice trokuta, a
        radijus je udaljenost središta od bilo kojeg vrha.
    4.
        Ortocentar - sjecište visina, odnosno okomica spuštenih iz vrha
        trokuta na nasuprotnu stranicu.
    f)
        Površine i volumeni.
    1.
        Površina poligonalnih likova u prostoru - lik rastavljamo na
        trokute, a površine trokuta računamo pomoću vektorskog produkta
        kao u primjeru 3.7 .
    2.
        Volumeni tijela omeđenih samo s ravnim plohama - tijelo
        rastavljamo na tetraedre, a površine tetraedara računamo pomoću
        mješovitog produkta kao u primjeru 3.8 . Postupci za ispitivanje
        ovih međuodnosa i svojstava detaljno su opisani u vježbama.

Poglavlja
    * Primjeri Natrag: Ravnina   Gore: VEKTORSKA ALGEBRA I   Naprijed:
      Primjeri