Natrag:
Množenje matrice sa
 
Gore:
Matrice
 
Naprijed:
Nul-matrica i jedinična
 
 Množenje matrica 
==================


Definicija množenja matrica je na prvi pogled neobična, ali upravo nam
ona omogućava jednostvno zapisivanje sustava linearnih jednadžbi.
Matrice i možemo pomnožiti samo ako su ulančane , odnosno ako ima
onoliko stupaca koliko ima redaka. Matrica ima redaka koliko i stupaca
koliko . Neka je, dakle, tipa i tipa . Tada je matrica tipa i vrijedi


(2.2)

Element
umnoška


nalazi se tako da stavite lijevi kažiprst na
a desni na
i kažete ''puta''. Tada pomičete kažiprste prema
i
govoreći ''plus'' dok se kažiprsti pomiču i ''puta'' kada stignu na
cilj. Nastavite li na taj način izračunat ćete


što je upravo element
produkta.
Na primjer,



Uočimo da množenje u obrnutom poretku nije definirano stoga što matrice
nisu ulančane. U sljedećem primjeru su oba množenja definirana, ali
umnošci nisu istog tipa:

   

U sljedećem primjeru su umnošci
i
istog tipa, ali nisu jednaki:

   

U ovom primjeru su, pak, oba umnoška jednaka:


Iz prethodnih primjera zaključujemo kako, za razliku od množenja
brojeva,
množenje matrica općenito nije komutativno.
Budite oprezni, jer se ova činjenica lako zaboravi kada se manipulira s
formulama koje sadrže matrice.

Teorem 2.1   [Svojstva množenja matrica] Za proizvoljne matrice , i i
broj , ukoliko su svi umnošci definirani vrijedi:
    (i)
        (asocijativnost),
    (ii)
        (distributivnost),
    (iii)
        (distributivnost),
    (iv)
        .



Primijetimo da zbog općenite nekomutativnosti množenja matrica, moramo
posebno navesti distributivnost prema množenju slijeva i zdesna.
Dokaz.

(i)
neka je
tipa
,
tipa
i
tipa
. Tada je
tipa
, a
je tipa
. Za proizvoljni element matrice
vrijedi:

   
 
   raspišemo sumu
   
 
   zamijenimo redoslijed zbrajanja
   
 
   grupiramo pribrojnike na drugi način
   
 
   
 
   
 
   

Ostale tvrdnje dokazuju se slično.     
Q.E.D.

Natrag: Množenje matrice sa   Gore: Matrice   Naprijed: Nul-matrica i
jedinična