Natrag:
Deriviranje reda funkcija
 
Gore:
NIZOVI I REDOVI
 
Naprijed:
Indeks
 
 Taylorov red 
++++++++++++++


Razvoj elementarnih funkcija u Taylorov red jedna je od najvažnijih
primjena dosadašnjih rezultata ove glave. Pomoću Taylorove formule
možemo računati vrijednosti elementarnih funkcija kao , i do željene
točnosti i to koristeći samo četiri osnovne računske operacije. Dokazi
teorema koje navodimo su složeni pa ih izostavljamo.


Teorem 6.17   Neka funkcija ima na intervalu derivaciju reda . Tada za
proizvoljnu točku i za vrijedi


   
 
(6.7)

gdje je

(6.8)

za
i
.


Formula ( 6.7 ) zove se Taylorova formula , a izraz u formuli ( 6.8 ) je
Schlömlichov oblik ostatka . Posebno, za dobivamo Cauchyjev oblik
ostatka



a za
dobivamo
Lagrangeov oblik ostatka



Teorem 6.18   Neka funkcija ima na intervalu derivacije proizvoljnog
reda. Tada za proizvoljnu točku i za vrijedi


(6.9)

ako i samo ako niz ostataka
teži k nuli za
.


Red potencija (
6.9
) zove se
Taylorov red
ili
Taylorov razvoj funkcije
u točki
. Taylorov razvoj u točki
zove se
MacLaurinov razvoj
,

(6.10)

Posebno je važna primjena Taylorovog razvoja na elementarne funkcije.


Teorem 6.19   Taylorov red elementarne funkcije konvergira prema u
svakoj točki svog područja konvergencije.




Primjer 6.19   Nađimo MacLaurinov razvoj funkcije . Uvrštavanje


 
 
   
   
   
   
   
   

u formulu (
6.10
) daje

(6.11)

Zadatak još nije gotov, jer ne znamo za koje vrijednosti
formula (
6.11
) vrijedi. Po teoremu
6.19
formula vrijedi za sve
za koje red na desnoj strani konvergira. Po D'Alembertovom kriteriju


odnosno
(vidi poglavlje
6.4.2
), pa formula (
6.11
) vrijedi za
. Konvergencija Taylorovog reda prikazana je na slici
6.5
. Također možete pogledati i
animaciju konvergencije
. Animacija je izrađena pomoću programa
FAni
.


Slika 6.5. Taylorov red za

Taylorovu formulu ( 6.7 ) koristimo za računanje vrijednosti
elementarnih funkcija.


Primjer 6.20   S kolikom točnošću



aproksimira funkciju
za
? Koliko je
? Pogrešku ćemo izračunati koristeći Lagrangeov oblika ostatka:


Dakle,


Ovo je gotovo točnost logaritamskih tablica. Točnost je još veća za
manje vrijednosti od , jer je na primjer . Izračunajte na ovaj način i i
usporedite s rezultatima koje daje kalkulator!

Računala računaju funkcije , , i na sličan način, odnosno koristeći samo
osnovne računske operacije. Postoje i ''bolji'' polinomi, odnosno
polinomi manjeg stupnja s kojima se postiže ista ili veća točnost.




Zadatak 6.5   Izračunajte MacLaurinove razvoje



i


Za
prethodna formula daje


što je još jedan prikaz broja
pored definicije iz poglavlja
6.1.3
. Konvergencija Taylorovog reda za funkciju
prikazana je na slici
6.6
. Također možete pogledati i
animaciju konvergencije
. Animacija je izrađena pomoću programa
FAni
.


Slika 6.6. Taylorov red za

Funkciju ne razvijamo u Taylorov red direktno, nego koristimo jedan od
sljedeća dva MacLaurinova razvoja.


Primjer 6.21   Nađimo MacLaurinov razvoj funkcije . Iz


   
   
   
   

zaključujemo


pa je


Uvrštavanje u formulu ( 6.10 ) daje


(6.12)

pa preostaje odrediti za koje vrijednosti
formula vrijedi, odnosno za koje vrijednosti
red potencija na desnoj strani konvergira. Radijus konvergencije reda
potencija je (vidi poglavlje
6.4.2
)


pa formula (
6.12
) vrijedi za
.
Dalje, u točki red glasi pa konvergira po Leibnitzovom kriteriju (vidi
poglavlje 6.2.4 ). U točki red glasi pa divergira kao što smo pokazali u
primjeru 6.10 .

Dakle, formula ( 6.12 ) vrijedi za pa pomoću nje možemo izračunati
vrijednosti funkcije za . Na primjer, možemo izračunati tako što u
formulu ( 6.12 ) uvrstimo ,



što nam daje sumu alterniranog harmonijskog reda iz poglavlja
6.2.4
. Konvergencija reda prikazana je na slici
6.7
. Također možete pogledati i
animaciju konvergencije
. Animacija je izrađena pomoću programa
FAni
.


Slika 6.7. Taylorov red za

Ukoliko želimo izračunati, na primjer, , tada nam formula ( 6.12 ) ne
koristi, ali možemo korisiti sljedeći razvoj.


Primjer 6.22   Nađimo MacLaurinov razvoj funkcije . Iz



slijedi

   
   
   
   

Zaključujemo


pa je


odnosno


Uvrštavanje u formulu (
6.10
) daje

(6.13)

Preostaje odrediti za koje vrijednosti formula vrijedi. Kako je , red na
desnoj strani formule ( 6.13 ) konvergira za . U točki red glasi pa
divergira, a u točki red glasi pa također divergira.

Dakle, formula ( 6.13 ) vrijedi za pa pomoću nje možemo izračunati
vrijednosti funkcije za . Na primjer, možemo izračunati tako što ćemo u
formulu ( 6.13 ) uvrstiti . Konvergencija reda prikazana je na slici 6.8
. Također možete pogledati i animaciju konvergencije . Animacija je
izrađena pomoću programa FAni .



Slika 6.8. Taylorov red za


Zadatak 6.6   Koliko članova reda treba za računanje na četiri decimale
kada koristimo formulu ( 6.12 ), a koliko kada koristimo formulu ( 6.13
)?




Natrag: Deriviranje reda funkcija   Gore: NIZOVI I REDOVI   Naprijed:
Indeks