×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Udaljenost mimosmjernih pravaca     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Zadaci za vježbu


Sjecište simetrale kuta i simetrale stranice

Zadan je trokut s vrhovima $ A(2,3,2)$ , $ B(0,1,1)$ i $ C(4,4,0)$ . Odredite sjecište $ S$ simetrale unutarnjeg kuta pri vrhu $ A$ i simetrale stranice $ AB$ .

Rješenje. Neka je $ \pi$ ravnina koja prolazi polovištem $ P$ stranice $ AB$ okomito na pravac koji prolazi točkama $ A$ i $ B$ . Nadalje, neka je $ p$ pravac kroz točku $ A$ s vektorom smjera

$\displaystyle \mathbf{s}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}.$

Tada je točka $ S$ sjecište ravnine $ \pi$ i pravca $ p$ . Polovište $ P$ stranice $ AB$ ima koordinate

$\displaystyle \left(\frac{2+0}{2},\frac{3+1}{2},\frac{2+1}{2}\right)=\left(1,2,\frac{3}{2}\right),$    

a vektor normale $ \mathbf{n}$ je jednak $ \overrightarrow{AB}=\{-2,-2,-1\}$ . Stoga jednadžba ravnine $ \pi$ glasi

$\displaystyle -2\cdot (x-1)-2\cdot (y-2)-1\cdot \left(z-\frac{3}{2}\right)=0,$    

odnosno

$\displaystyle -2x-2y-z+\frac{15}{2}=0.$    

Zbog

$\displaystyle \mathbf{s}=\frac{-2\mathbf{i}-2\mathbf{j}-\mathbf{k}}{\vert-2\mat...
...)+(2\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k})}{3}=-\frac{1}{3}\,\mathbf{j}-\mathbf{k},$

možemo za vektor smjera pravca $ p$ uzeti kolinearan vektor $ \mathbf{s}_1=-\mathbf{j}-3\mathbf{k}$ pa parametarska jednadžba pravca $ p$ glasi

$\displaystyle x=2,\quad y=-t+3,\quad z=-3t+2,\quad t\in\mathbb{R}.$

Uvrštavanjem u jednadžbu ravnine $ \pi$ dobivamo

$\displaystyle -2\cdot 2-2\cdot (-t+3)-(-3t+2)+\frac{15}{2}=0,$    

odakle je

$\displaystyle t=\frac{9}{10} \quad\textrm{ i }\quad S\left(2,\frac{21}{10},-\frac{7}{10} \right).$    


Udaljenost mimosmjernih pravaca     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Zadaci za vježbu