×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Udaljenost ravnina     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Udaljenost točke od pravca


Udaljenost pravca od ravnine

Nađite ravninu $ \pi$ koja je paralelna pravcima

$\displaystyle p_1\ \ldots\ \left\{
\begin{matrix}
y=2x-1\\
z=3x+2
\end{matrix}...
...d\quad p_2\ \ldots\ \left\{
\begin{matrix}
y=-x+2\\
z=4x-1
\end{matrix}\right.$

i jednako udaljena od tih pravaca.

Rješenje. Opća jednadžba ravnine $ \pi$ glasi

$\displaystyle Ax+By+Cz+D=0.$

Stavljanjem $ x=t,\, t\in\mathbb{R}$ dobivamo parametarsku jednadžbu pravca $ p_1$

$\displaystyle x=t,\quad y=2t-1,\quad z=3t+2, \quad t\in\mathbb{R}$

i pravca $ p_2$

$\displaystyle x=t,\quad y=-t+2,\quad z=4t-1, \quad t\in\mathbb{R}.$

Vektor normale $ \mathbf{n}$ ravnine $ \pi$ je okomit na vektore smjera $ \mathbf{s}_1=\{1,2,3\}$ i $ \mathbf{s}_2=\{1,-1,4\}$ zadanih pravaca pa možemo staviti

$\displaystyle \mathbf{n} =\mathbf{s}_1\times\mathbf{s}_2=
\begin{vmatrix}
\math...
...
1 & 2 & 3\\
1 & -1 & 4
\end{vmatrix}=11 \mathbf{i} -\mathbf{j} -3\mathbf{k}.$

Dakle, $ A=11, B=-1$ i $ C=-3$ . Preostaje izračunati $ D$ iz uvjeta

$\displaystyle d(p_1,\pi)=d(p_2,\pi).$

Budući je ravnina $ \pi$ paralelna pravcima $ p_1$ i $ p_2$ , slijedi

$\displaystyle d(T_1, \pi)=d(T_2, \pi),$

gdje je $ T_1$ proizvoljna točka na pravcu $ p_1$ , a $ T_2$ na pravcu $ p_2$ . Uzmemo li $ T_1(0,-1,2)$ i $ T_2(0,2,-1)$ , prema formuli (3.4), vrijedi

$\displaystyle \frac{\vert 11\cdot 0-1\cdot(-1)-3\cdot2+D\vert}{\sqrt{11^2+1^2+3^2}}
=\frac{\vert 11\cdot 0-1\cdot2-3\cdot(-1)+D\vert}{\sqrt{11^2+1^2+3^2}},$

odnosno

$\displaystyle \vert D-5\vert=\vert D+1\vert.$

Odatle dobivamo $ D=2$ i jednadžbu ravnine $ \pi$ ,

$\displaystyle 11x-y-3z+2=0.$